胡伟栋 减少冗余与算法优化.pptVIP

湖南省长沙市长郡中学 胡伟栋 减少冗余与算法优化 例1：整数拆分——问题描述 总结 在算法设计和编程过程中，冗余的出现是难以避免的 冗余是高效率的天敌，减少冗余，必然会使算法和程序效率提高很多 去除冗余没有可套用的定理公式可用，只有认真分析、善于探索，并在做题中积累经验，才能得到去除冗余的好方法 总结 * * 减少冗余与算法优化 要提高算法的效率， 必须减少算法中的冗余 算法的目标： 用最少的时间解决问题 最高的效率 冗余： 多余的或重复的操作 高效率 　　在有哪些信誉好的足球投注网站、递推、动态规划……中，都可能出现冗余 将整数N拆分成若干个整数的和，要求所拆分成的数必须是2的非负整数幂的形式。问有多少种拆分方案？ 如果两个方案仅有数的顺序不同，则它们算作同一种方案。 当N=5时，可以拆分成下面的形式： 5=1+1+1+1+1 5=1+1+1+2 5=1+2+2 5=1+4 5有4种拆分方案。 例1：整数拆分——样例 例1：整数拆分——递推的建立 用F[i, j]表示 i 拆分成若干个数，其中最大的数不超过2 j的拆分方案数。 递推方程： 递推的表示： 目标： 最大数是 最大数小于 (初始值) 例1：整数拆分——递推复杂度 复杂度： 时间复杂度： O(Nlog2N) 空间复杂度： O(Nlog2N) 1≤i≤N　　 1≤j≤　　　≤ J I 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 M=3, N=8 B F[i, j-1] A F[i, j] 例1：整数拆分 当N=2M (M是非负整数) 时 实际要计算的点数： 1+2+22+23+24+……+2M-1=2M-1=N-1 F[i, j] i j ——递推中的冗余 1=20 2=21 4=22 C 当 j=M-k 时，第 j 行要计算的点数为 2k 。 例1：整数拆分——减少冗余 当N=2M (M是非负整数) 时 当 i=x 时，第 i 列要计算的点数与 x 的二进制表示中最末的 0 的个数相等 1 2 10 2 11 2 100 2 101 2 110 2 111 2 1000 2 时间复杂度： O(N) J I 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 每列要计算的点是最下方连续的若干个点 需要计算的点 已知点 不必求出的点 J I 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 例1：整数拆分——减少冗余 当N=2M (M是非负整数)时 在所有 F[x, j] ( j一定, x为变量)中，只要存储 x 最大的一个即可。 未知点 处理中的点 已知点 不必求出的点 空间复杂度： O(log2N) 例1：整数拆分——减少冗余 J I 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 当N≠2M时， 可转化成N=2M的形式求解 例1：整数拆分——减少冗余 设N=2M-r (2M-1N2M) 0 0 0 0 0 0 0 r 目标 F[N,M-1] F[N,M] 例1：整数拆分——小结 冗余 时空复杂度较高 去除冗余后 时空复杂度相对很低 去除冗余 优化本题的关键 例1：整数拆分——最后的思考 更优秀的算法？ Exploring 公式？ . . . 例2：最大奖品价值——问题描述 有N+2级楼梯，分别用0至N+1编号，第1至N级楼梯上每级都放有一个奖品，每个奖品都有一个正的价值。如果某人从第0级开始，向上走M步正好到达第N+1级楼梯，他将得到所走过的楼梯上的所有奖品，否则他将一无所获。问能得到的奖品价值的和最大是多少？ 当然，一步不可能走太多级楼梯，假设每步最多上K级，即最多从第 i 级走到第 i+K 级。 例2：最大奖品价值——数学模型 有一列数 a0, a1, a2, … , aN, aN+1 其中a0=0　　a1,a2,a3, …, aN0　　aN+1=0 从中选M+1个数 　… , 　，使 1) 0=i0i1i2 … iM=N+1； 2) i1-i0, i2-i1, i3-i2, …, iM-iM-1≤K 3) 　 … 最大 例2：最大奖品价值——动态规划 状态表示： 用F[i, j]表示走 i 步到达第 j 级楼梯能得到的奖品的价值和的最大值 F[i, j]=max{F[i-1, x]}+aj j-k≤xj 时间复杂度： O(NMK) 例2：最大奖品价值——规划中的冗余 从F[i-1]到F[i]的转移 f1[j]表示F[i-1, j] f2[j]表示F[i, j] f1[j-k-1]　f1[j-k]　f1[j-k+1]　…　f1[j-3]　f1[j-2]　f1[j-1] f2[j-1] f2[j] max max 例2：最大奖品价值——减少冗余 动态的考虑： 每次要求的 f1 的一段都是变化的 每次会加入一个新元素 每次会删