2007实变函数和泛函分析初步试题.docVIP

浙江省2007年10月高等教育自学考试 实变函数与泛函分析初步试题 课程代码：10023 一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.已知Z和Q分别为整数集和有理数集，记A=［0，1］-Q，则( ) A B. C. D. 2.若A=［0,1］-{，…},B=［2,3］∩Q,C=［5,6］-Q,则A∪B∪C的测度为( ) A.1 B.2 C.3 D.无意义 3.设f(x)=∩Q,则f(x)dx=( ) A.0 B.1 C.2 D.8 二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 4.集列的上限集与下限集一定不相等.( ) 5.开集一定是博雷尔（Borel）集.( ) 6.设ER1，是E的闭包，mE=0，则m()=0.( ) 7.设f(x)在［0，1］的一个稠密集上处处不连续，则f(x)一定不是Riemann可积函数.( ) 8.定义在零测集上的函数一定是可测函数.( ) 9.定义在区间上的单调函数的导数几乎处处存在.( ) 三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 10.设A2n-1=(0,sin)，A2n=(,n),则集列{An}的上限集为___________. 11.球面S2={（x,y,z)|x2+y2+z2=1}的基数为___________. 12.设F={(x,y)|x2+y2≤1},E=F∪，则E的开核=___________. 13.记E为康托集和有理数集的并集，则mE=___________. 14.设函数f(x)在［0，1］上单调，E是f(x)的连续点全体，则mE=___________. 15.f(x)是可测集E上的简单函数是指___________. 16.函数f(x)在区间［a,b］上的黎曼可积的充要条件是___________. 17.f(x)与g(x)在E上几乎处处相等是指___________. 18.举一个函数列{fn(x)}的例子，使得{fn(x)}在［0,∞)上处处收敛于0，但{fn(x)}在［0,∞)上不依测度收敛于0，例如fn(x)=___________. 19.区间［a,b］上的函数F(x)是f(x)的一个不定积分是指___________________________ _____________________________. 四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分) 20.设f(x)是(-∞,+∞)上的实值连续函数，证明对于任意常数a,E={x|f(x)a}是开集，而F={x|f(x)≥a}总是闭集. 21.设E是［0,1］中的不可测集，令f(x)，问f(x)和|f(x)|在［0,1］上是否可测？为什么？ 22.设f(x)在E上可积分，记en=E［|f|≥n］，证明. 23.问函数f(x)=在［0,1］上是不是有界变差函数？为什么？