2.3 函数值域.docVIP

§2.3 函数的值域 ——函数的值域、最值或取值范围，是中学数学及高考中的常见问题，热点问题 一、明确复习目标 1．理解函数值域的概念，掌握求值域的基本方法； 2．掌握常见函数的值域，会求解含参函数．复合函数的值域． 二．建构知识网络 1．确定函数的值域的原则 ①当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数的集合； ②当函数用图象给出时，函数的值域是指图象在轴上的投影所覆盖的实数的集合； ③当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定． 2．常见函数的值域：一次、二次函数，反比例函数，指数、对数函数，正、余弦函数，“对钩函数”等； 3．求函数值域的几种常用方法；配方法、换元法、不等式法、判别式法、反解法、单调性法、数形结合法、利用已知函数的值域等． 三、双基题目练练手 1．函数的值域是 ( ) A．［－1，1］ B．（－1，1］ C．［－1，1） D．（－1，1） 2．函数的值域为 ( ) A．(－∞，) B．(0，] C．［，+∞］ D．［0，+∞］ 3．若，则的最大值为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 4．对函数作代换，则总不改变值域的代换是 ( ) A． B． C． D． 5．函数的值域 ． 6．函数的值域是 四、经典例题做一做 【例1】求下列函数的值域： 1． 二次型 ①　 　　　② 2．分式型 ①　　　　　　　　　　　 ② 　 　 　 　 3．根式型 ① ② ③ 4．绝对值型 ① ② 5．复合函数　① 　　　　 ② 【例2】求下列函数的值域 （1）； （2） （3）； 【例3】设函数分别满足下列条件，求实数a的取值范围 (1)的定义域是R； (2)的值域是R； （3）的定义域为（－2，1）； 【例4】 若函数f（x）=的值域为［－1，5］，求实数a、c． 五．提炼总结以为师 1．求函数值域的方法：配方法、换元法、不等式法、判别式法、反解法、单调性法、数形结合法、利用已知函数的值域等． 2．求无理函数的值域，用换元法； 3．求（a12+a22≠0）的值域时用判别式法，求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论． （1）若分子、分母有公因式，则约简后（注意等价性），再求值域； （2）当x的取值范围有限制时，一般先变形为“对钩函数”的形式，再利用单调性求解． 4．求解含参数或是综合性问题时，常将函数式转化为方程来研究讨论． 同步练习 1．值域是（0，+∞）的函数是 （ ） A． B． C． D． 2．已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数 是减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是 A．a≤1 B．a 2 C．1 a 2 D．a≤1或a≥2 3．函数的值域是 ； 4．函数值域为_______________． 5．函数的值域是 ． 6．函数的值域是 7．求函数的值域 8．已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域 9．函数， （1）求函数的定义域； （2）问是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．