应用向量解决平面几何问题.pdfVIP

· 高中数学竞赛中常用的思想方法· 向 量 攀茴 凡侮润 陕西省武功县普集高中 史义飞 向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与 = 一 (c-P+c--：一稼 ， 、 代数运算的简捷于一身，在解决平面几何问题中有着奇 ．。 萌 ∥稼 ，故H、C、K-A共线． 特的功效．利用向量法解答平面几何问题的一般步骤 说明：从上面的证明过程不难发现，C也是线段HK 是：首先将题设和结论中的有关元素转化为向量形式， 的中点． 然后确定必要的基底向量，并用基底表示其他向量，最 例2 (第23届 IMO试题)如 后借助于向量的运算解决问题． 图2，M、N分别是正六边形ABC— P_ 在利用向量解决平面几何问题时，掌握下面一些常 DEF的对角线AC、CE的内分点， 用的结论是必要的． 且A M一面CN= ． 若B,M、～三点共 性质1 设0为直线AB外一点，则A、P、B三点共 图2 线的充要条件是存在一对实数 、 ，使0 一 0 线，试求 的值． + 0B，且 + =1． 讲解：B、M、N三点共线，由性质 1知，存在实数m、 性质2 设0为AABC所在平面内一点，则0是 ，z，使 一 商 +，z菌 ，且 +，z一1．如果能把in、，z分 AABC外心的充要条件是f f—f f—f f． 别用 表示，则可由m+ 一1建立关于 的方程，从而求 性质3 设 G为AABC所在平面内一点，则 G是 出 的值． AABC重心的充要条件是 +商+ 一0． 如图2，延长EA、CB交于点P，设正六边形ABC— 性质4 设H为AABC所在平面内一点，则 H是 DEF的边长为1，则PB=2，EA~AP--／g． · AABC 垂 心 的 充 要 条 件 是 n-X · 葡 ．· 《：}一 ， · 一 面 ．蔬 一蔚 ． ． ． ． 一(1一 )蔬 ． 性质5 设J为AABC所在平面内一点，a、6、c分别 又 一3蔬 ，且CA． ：~APCE的边PE上的中线， 是角A、B、C所对的边，则J是AABC内心的充要条件 葫 一 菇 ， 是n· +6·商+f． 一O． · 性质6 设0、G、H分别是AABC的外心、重心、垂 · · -Z一专( +蔬)一号蔬十c ． 心，则 一 ( + + )，萌 一