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维普资讯 东北师大 《数学学习与研究》数学通讯赛高 一试题1． 浅谈圆锥曲线的中点弦 解 设LPAB= ，LPBA= ，由斜率与倾 福建漳州教育学院(霄校区) 吴伞荣 斜角的关系及定理得 。 毛 =k -kvB=一tan口甑 “圆锥 曲线”是平面解析几何中的重点 = 一 (1一e)=e 一l 内容之一，而圆锥 曲线中的 “中点弦”问题又 = 2一l=1． ． 是直线与圆锥 曲线关系中的重要 内容，本文 又因为点P在双 曲线上，由双 曲线的范R司 试图从圆锥 曲线的中点弦方程、存在性及其 知kl≠ ，故山基本不等式得 应用展开研讨． 一 1圆锥 曲线的中点弦概念 、 砰+ 2kI=2：l=2， 定义 设C：f(x，Y)=0为_次 曲线，P(xo， 故砰+霹的取值范嗣是(2， )． )为平面上的点，若直线，与C交于AB，而AB 例 3、设 ， 是双 曲线 + 2 =l(口0， 以尸为中点，则称 ，为 C的以P为中点的弦， 2圆锥 曲线的中点弦方程 b)=0)。左右顶点 是双曲线上一点，且△APB 定理 1设C：f(x，)=Ax+2Bxy+ 的面 积 为 S=1，tanZPAB=1／2，tanLPBA= +2Dx+2 +F=0为一次曲线，M(xo，Yo)为 一 2，求双 曲线方程． 一 定点，若以 为中点的 C的弦 ，存在，则 ， 解 将tana=tanLPAB=Ih／,taIl= 的方程为： tallZPBA=一2，代人定理 l得e亏√2． 工 +B(xoY+而，0)+CyYo+D(x+ )+ 故知此双 曲线为等轴双 曲线． E(y+ )+F f(Xo， ) (1) 又由题设知 ，册 的直线方程为 证明 设P(x，)为 ，与 C的交点，则P关 于M (xo，Yo)的对称 点P(2xo— ，2Yo— )也 Y毒(+a)／2，： 一2(一口)． 为 ，，C的交点，从而它们均满足 ‘联立两式解得 ，} f(x，)=0， (2) 厂(2】f0一x,2yo— ) 0， (3) 故s= 竽 -， 山(2)一(3)整理即得(1)，注意(1)为：苴线方 a =b =s／4． 、 程，且过 P、P’，而 又 以 为中点，即(1)l~lJ 故所求双 曲线方程为x一Y=5／4． 为所求的中点弦方程， ． 2、