不需画图来确定三重积分的积分限.pdfVIP

维普资讯 第2004馨年l11月 JIOURNALOFZHEJ师IA范N大G学NNO学R报MAL然U科NI学V版ERSITYY((Nat．．Sci．．)) V0NIO．V2．72，0N0O4．4 文章编号：1001—505I一(2004)04—0345—04 利用平面投影图形确定三重积分的积分限 严永仙 (浙江科技学院 理学系，浙江 杭州 310012) 摘 要 ：三重积分积分限的确定一直是教学的难点与重点．针对学生空间想像力及作图能力欠缺的现状 ，结合 教学实践，提出了用平面图形代替立体图形 的方法，给出了积分域的投影 区域及积分限确定的几种方法 ，以有 效解决三重积分的积分限的确定问题． 关键词 ：三重积分；积分 区域 ；积分限；投影；投影区域 中图分类号 ：O172 文献标识码 ：A 0 引 言 三重积分计算的思想是化三重积分为三次积分，其重点、难点和关键点是选择适 当的坐标系、积分 次序和积分限的确定．对上述要点的掌握 ，传统的做法是要求学习者能根据题中的条件作出或想像出积 分区域的大致图形，需要有较强的空间想像能力，但从教学实践的情况看，学习者欠缺的正是空间想像 力，常常停留在平面图形上；由方程难以确定曲面的形状 ，有的虽能判别出其形状，但要作出对应的图形 常感到困难，而要画出几个 曲面所围的区域则更为困难了．为此，学习者普遍感到三重积分难学．这一情 况引起了笔者的深思：三重积分的积分限的确定能否避开积分域的立体图形，寻找其他有效途径 以达到 异曲同工之效呢?就三重积分在直角坐标系、柱面坐标系上的计算问题 ，通过对教材r1及大量参考书中 习题的深入分析和思考，给出了肯定的回答，探索出了一种易被学习者接受而行之有效的方法——利用 平面图形确定三重积分的积分限．这种方法的关键是作出积分域在被选定坐标面上的投影区域 ，再加上 一 些简单的分析和判断便可确定积分限，而不必作出积分域 的立体 图形 ，若能想像出积分域 的大致图 形，则能更快更准地确定出积分限． 通常情况下，积分区域的边界曲面可分为两类 ：F(x，Y，z)一0(方程中显含z)和g(x，)一0．为叙述 方便 ，笔者针对三重积分在直角坐标系、柱面坐标系下的 “先一后二”法(以先 z后z，Y或r，为例，并记 n在xoy面上投影区域为D )，提出D 的几种作法及积分限确定的方法． 1 截痕法 用坐标面 z一0截各曲面得截痕[2]，各截痕所围的公共部分为D… 具体做法如下： 第1步：在z。面上分别作出各截痕lg1z‘ 0(一1，2，…，s)或lFlz‘’o一o(一1，2， 【z 一 0 【z = 0 … ， 志)(即考虑 g(z，)一0或 (z，Y，O)一0在平面中的图形)． 第 2步：确定投影区域 D (各截痕所围的公共部分为 D )． 收文 日期 ：2004—02—05；修订 日期：2004—09一ll 作者简介：严永仙 (1966一)，女 ，浙江临安人，讲师．研究方向：应用数学 维普资讯 346 浙江师范大学学报 (自然科学版) 第 3步：确定 的上下限．从 F(，，)一0中解出 一厂(，)，在 D 中比较 ，(，)的大小，大 者为上限，小者为下限． 第4步：确定二重积分的积分限．根据二重积分的积分限确定原则 ，用不等式表示 D ，得 ， 的积 分限或r，0的积分限． 第 5步：确定三重积分的积分限．综合第 3、第 4步可得，若采用柱面坐标系，则须将各积分限用柱 面坐标表示． 注1若截痕』gJz‘’一0(一1，2，…，s)已能围成闭区域或Fi(，，)三2，则不必考虑截痕 』Ft‘，o～ (一1，2，…，走)． I 一 0 注2 若 n的图形限制在第一卦限，则根据上述步骤作出第一象限部分的投影区域，其余类推． 适用类型： (1)n 由曲面F (z，，)一O(一1，2，…，k，走≤2)及柱面g(，)一O(一1，2，…，s)所围闭区域； (2)n由一个中心在(口，b，O)的球面(或椭球面)F(z，y，)一O