苏教版高中数学选修3-4 4.6.5高次方程的根式解.pptVIP

§ 4.6.5 高次方程的根式解 在数学理论和数学应用中，方程永远是一个重要话题，一个方程能否用简单的方法求解，更是人们关注的对象. 1.一个美好希望 对于一元一次方程 ax+b=0(a≠0), 它的解为 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0), 其求根公式 注意到，解这些方程所用的运算，不外乎加、减、乘、除、乘方、开方. 这样就使人们产生一个美好希望：只用四则运算和开方运算，是否也能解出三次、四次、五次或更高次的方程？ 如果一个方程的每个根都能利用方程的系数，通过有限次四则运算和开方运算得出，就说这个方程可用根式求解，简单说，这个方程可用根式解. 美好愿望能否实现？ 这就是著名的高次方程根式解问题. 2.消息有好有坏 在16世纪和17世纪，欧洲传来好消息：三次方程解法和四次方程解法相继发现，都是利用根式解出的. 五次以上呢？ 1801年，德国数学家高斯（C.F.Gauss,1777-1855)在他的《算式研究》中，考察了方程xp-1=0. 其中p是素数，这样的方程叫做二项方程，他证明了这类方程一定能用根式解. 高斯还将上述结果应用于解答经典的几何难题.例如，他借助方程x17-1=0的根式解，得到了著名的利用直尺和圆规17等分圆周的方法. 挪威数学家阿贝尔（N.H.Abel,1802~1829)早在中学时代就已阅读高斯等数学家关于方程的著作，并且尝试自己动手研究. 起初，阿贝尔以为他已经利用根式，解出了一般五次方程，但他很快发现原来的想法有错误. 然后，阿贝尔走上一条相反的思路，试图证明这样的方程不可能有根式解. 终于，在1826年，阿贝尔成功证明了，高于四次的一般方程不能用根式求解. 结果断言“不能”，未免使人觉得有些扫兴，但是，这个否定的结论，却能一锤定音，告诉后来人，不必再浪费精力苦苦追寻五次或更高次一般方程的根式解了，因为它根本不存在. 在阿贝尔的结果中，不能用根式求解，是对“一般”的次数大于四的方程来说的.某些特殊情形可用根式解，与此并无矛盾.例如，高斯的二项方程是一类可用根式解的特殊高次方程，后来被叫做阿贝尔方程. 有些高次方程能用根式解，有些不能用根式解，究竟什么情形能，究竟什么时候不能？ 可否找到一个明确的判别方法？ 这是根式解问题的最后一大悬念. 3.群论解决问题 在阿贝尔之后，出现了另外一位年轻的数学家伽罗瓦（E.Galois,1811~1832). 伽罗瓦是法国人，中学时代爱好数学，并且致力于数学研究，他仔细阅读了高斯、阿贝尔和另外一些前辈数学家的有关著作，在前人工作的基础上，伽罗瓦创造出自己的一套方法，能够判定证明的高次方程可用根式解. 伽罗瓦在1832年的一次决斗中，结束 了年轻的生命，他在生前写过一些文 章论述他的发现，但因太深奥，叙述 太简单，令人费解. 专家劝告伽罗瓦，应该谢一份比较详细的说明阐述他的发现，决斗前夜，伽罗瓦为自己的研究写了一份说明，交给朋友，得以保存和流传，而伽罗瓦本人却在第二天不幸去世. 在随后的几十年里，渐渐地，他的理论被理解和阐述得清清楚楚. 按照伽罗瓦的方法，如何判定一个高次方程可用根式解呢？ 大致说来，要点如下： 第一，根据一个n次方程的对称性，可用适当方法作出一个置换群.为了纪念伽罗瓦，人们把这个群叫做方程的伽罗瓦群. 一般n次方程的伽罗瓦群是n阶对称群Sn. 对于一个特殊的n次方程，由于满足某些附加条件，使它的对称性受到限制，因而方程的伽罗瓦群可能是Sn 的某个子群. 第二，通过研究群的结构，发现有一类重要的特殊群，叫做可解群， 第三，证明了一个判定定理: 定理 为了使一个n次方程可用根式解，必须且只需它的伽罗瓦群是可解群. 例如，当n4时，对称群Sn不可解，由此理科推出阿贝尔的重要结论—高于四次的一般方程不能用根式求解. 在群论里发展了一整套方法，可以具体确定一个n次方程的伽罗瓦群，又能实际判别一个群是否可解，这样就彻底解决了高次方程的根式解问题. 一个困扰数学界多年的老大难往年提，终于画上了圆满的句号. * *