第六章线性变换及若当标准形.pdfVIP

第六章 线性变换与Jordan 标准形 §6.1 基本概念 6.1.1 线性变换及运算 1．定义 1 设是数域P 上线性空间V 的变换，如果适合下列条件： （1） ( ) ( ) ()   (  )，（k2 ）()k ,  ，, V,k P  则称是线性空间V 的线性变换。特别若是单射（满射，双射），则称是单(满、 同构)线性变换。 2 ．线性变换的运算 设和 都是线性空间V 的线性变换，按如下法则定义线性变换的加法、数乘 和乘法： （1）加法 ( )( ) ( ) ( )      （2 ）数乘 ( )( )k ( )k    。 （3 ）乘法 ( )( ) ( ( ))     ， 则 、k和 都是线性空间V 的线性变换； 注 全体 V 的线性变换的集合记为L(V) ，则L(V) 关于线性变换的加法和数乘 是一个线性空间。 6.1.2 线性变换与矩阵 1．线性变换的矩阵表示 设是n 维线性空间V 的线性变换，e e , , e ,  是V 的一组基： 1 2 n e a e a e (a )e  ,  .( 1,2, . )i n  i 1 1 i 2 2 i ni n  A  则称矩阵 为线性变换{ , e ,在基e }e  下的矩阵，简称 为 的矩 A a( ) 1 2 n ij n n  87 阵表示。 定理e e 1, 设, e ,  是n 维线性空间 V 的一组基，L(V) ，设在基 1 2 n n n e e , e ,  下的矩阵为A 。令: A ，则是线性空间L(V) 到P 的同构映 1 2 n 射。 2 ．相似矩阵 1 定义 2 设 n n A B, 是 阶矩阵，若存在 阶可逆矩阵P ，使得P AP B ,则称A 与 B 相似。