第一+二节(复数项级数+幂级数).pptVIP

* * 第 三 章 幂 级 数 展 开 重点 1、求幂级数收敛半径的方法； 2、复变函数Taylor展开条件与展开方法; 3、复变函数Laurant展开条件与展开方法; 4、解析延拓的方法； 5、奇点的的分类以及极点阶的确定。 §3.1 复数项级数 一、复数项级数定义及其收敛判据 复数项级数定义： ⑴每一项均为复数 ⑵实数项级数是复数项级数的特例 ⑶一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论 说明： 级数 收敛的充分必要条件为 成立。 对于任意给定的正数 ,总存在自然数N使得当nN时， 对于任意的自然数p都有： 2、复数项级数的收敛判据---Cauchy 收敛判据 由 给定 ，存在N， 和N一一对应关系 记为N(ε) 二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质 1) 绝对收敛及其性质： ⑴ 绝对收敛定义 或写为 、 、… …… 收敛，则称这个级数 为绝对收敛级数。 组成的新级数 由复数级数 的各项模 、 …. ， …… a. 如果级数 是绝对收敛的，则该级数收敛。 常用级数绝对收敛来判断级数的收敛 ⑵ 性质： b. 如果级数 和 是绝对收敛的，则它们的乘积 也是绝对收敛的。 c.改变绝对收敛级数的各项先后次序其和不变。 和相同 2）一致收敛及其性质： ⑴ 一致收敛定义： 如果级数是定义在区域B（或境界线L）上，则在 区域B（或L）上的各点z，对于给定的小正数 ，存在 与z无关的正整数N,使得n N时，对于任意的自然数p 恒有： 成立。 则称级数 为一致收敛。 说明： c、复数项级数是B 的解析函数，其级数和一定是B上的收敛 函数。 d、若 而 收敛则该级数是绝对一致收敛的。 b、一致收敛是对区域B或L而言。 a、一致收敛中N与z无关。 (2)性质 连续性 可积性 解析性 级数 在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则 级数 在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续 级数 在B内一致收敛于f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且 几个定理： 3 ? ? T ? ￥ = ￥ = ￥ = 1 1 1 n n n n n n , a a a 且 也收敛 收敛 若 定理三 ) ) ( ) ) ( ) . i n ; ! n i ; n i n : n n n n n n ? ? ? ￥ = ￥ = ￥ = ú ? ù ê ? é + - ? ? ? è ? + 1 0 1 2 1 1 3 8 2 1 1 1 1 否绝对收敛？ 下列级数是否收敛？是 例 §3.2 幂 级 数 一、幂级数表示 其中z0,a0,a1,a2,…都是复常数,这样的级数叫做以z0为中心的 幂级数 二、幂级数的收敛半径及其求法： 1）d’Alembert法（比值判别法）则求级数收敛半径：如果 1、收敛半径R： 绝对收敛，否则发散。 收敛半径为 如果 则级数(1)绝对收敛 如果 则后项与前项的模之比的极限 即对级数(1)来说,后面项的模越来越大,必然是发散级数,即 级数(1)发散 以z0为圆心,作半径为R的圆周Ck,则幂级数在圆的内部绝对收敛 在圆外发散,这个圆称为幂级数的收敛圆,半径叫做收敛半径,至 于收敛圆周上的各点,幂级数收敛或发散需要具体分析. 半径R1稍微小于R的圆周 ,在 所围的闭圆域上,幂级数(1) 的各项的模 圆的内部指的是比这个圆稍微小一些的闭区域,以z0为圆心作一 对正的常数项级数 应用比值判别法 此常数项级数收敛,由此,幂级数(1)在收敛圆的内部不仅绝对而且一致收敛. ＜1绝对收敛。 若＞1发散。 R = 收敛半径为 对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。（证略） 2）Cauchy法（根值判别法）求收敛半径 . . ( ) z 外都是发散的, 对所有的正实数除 2 = z 除外处处发散. 则级数 = 例1 求幂级数 的收敛圆,t为复变数 解: 所有的系数ak=1,则收敛半径为 因此收敛圆是以t=0为圆心而半径为1,收敛圆的内部可以表示 为|t|1 这是一个几何级数,公比为t,所以前n+1项的和 若|t|1,则有 在收敛圆内,幂级数的和为1/(1-t) 例2 求幂级数 的收敛圆, z为复变数 解: 记z2=t,则本例的级数即 系数交替为1和 -1,则t平面上的收敛半径为 由此z平面上的