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下临界维数Wiener sausage相交时间的中偏差
王艳清：下临界维数 Wienersausage相交时间的中偏差
(1)当 d=2且 P≥2时，对任蒽的 0，
1
tlim { 。gp{(t)≥幻())：一笔(7rr)一 (2，p)一等寿；
(2)当d=3且P=2时，对任意的 0，
1ogp)(~一／tb3t()}=一( )2)§，
其中4d，P)是满足下面 Gagliardo—Nirenberg不等式的最优常数，
IIlf1l1l1~p≤≤ccIIIIVvffllll2 llIfll一 ，，f∈∈W1,2(( )) ((11．33·))
且
W1,2(d)={，∈L2()；vf∈ (Rd))．
定理 1．1的证明主要运用了近年来提出的高阶矩方法 [10j。一 ．这里不加证明地给出一个重要的
G tner．Ellis型定理 [6，定理41．
定理 1．2 令 { )是一族非负的随机变量，P≥1为一个整数．假设对任意的00，下面的极限
lira log (EZ
存在．若 ~(IO1)是本质光滑的，则对任意的入0，
limE1ogp( ≥ )=一 ()，
其中
()=psup{0X／／一 ())．
由定理 1．2可 以看出，为了证 明定理 1．1，我们只需要证明下面的高阶矩逼近结果．为了方便，我们
记 (t)为 z4t)．
命题 1．1 设 b(￡)是一个正函数且满足 (1．2)．
(1)当d=2且 P≥2，对任意的整数m ≥1和 00，
熙 。g ()詈c㈤=( )c p； 4
(2)当d=3且 P：2，对任意的整数 m ≥1和 00，
。g ()寻厕 =8 3()2)· (1．5)
命题 1．1的证明分为上界和下界．上界的证明主要依赖于Wienersausage相交时间的高阶矩估计
和高阶矩收敛性质．下界的证明通过构造适当的Feynman—Kac半群和算子谱理论得到．为了使文章
脉络清晰，本文将在第 2节给出命题 1．1的证明，证明中用到的一些引理放在第 3节完成证明．
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中国科学 ：数学 第43卷 第 7期
2 命题 1．1的证明
本节先不加证 明地给出下面几个重要的引理．
引理 2．1 设 t1，t2，… ，t。0且满足 t1+t2+… +t。：t，则对任意的m ≥1，
(啦㈤ 垂( ． 2(．1)
进一步，对任意的00，
E(亡())≤垂oo丽omE(( (2．2)
引理 2．2 (1)当d=2且P≥2时，
E (t)_÷Trr)pE((0【，1]p))， m=1，2…．，t_÷∞； (2．3)
(2)当d=3且P=2时，
㈤ ) f(071]m，m_1)2… ∞， (2．4)
其中 ([0，lip)表示P个独立 Brown运动的相交局部时，形式上可以写为
([。，]p)= (! (s())ds)d．
引理 2．3 存在一个只依赖于 d和 P的常数 C使得
(1)当 d=2且 P≥2时，
sup]Eexp{Ct一／(p一) ())／(p一))oc； (2．5)
t／3
(2)当d=3且p=2时，
唧 3
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