不等式证明的幂级数方法.pdfVIP

不等式证明的幂级数方法 苏化明，潘杰 (合就工业大学数学学院，安徽合肥230009) 辆要 黻郝癸鏊蠹矮数学竞赛糕兔镶说赘器级数秀法卷涯臻零等式穷覆熬痘鬻． 关键词 幂级数；不等掰：；数学竞赛题 中图分类号0173 文献标识码 A 文章编号 1008—1399(2011)03—0039-03 文[1—3]对幂级数的各种应用作了介绍．例如， c≥虿1． 幂级数可以用来计算函数的近似值；可以用来解某 些微分方程；可以用采计算某些积分；誓以震来构造 例2(2002牟第63届美国大学生数学竞赛题)嘲 函数，等等．但很少有文献介绍利用幂级数证明不等 对予所有的整数押1，证明 式．本文将以国内外数学竞赛题为例说明幂级数在 去{一(t一丢)”磊1。 证碉不等式中豹应用，供参加数学竞赛活动的老师 证明 强辩1时，由ez的鞯级数展开式知 或同学作参考．读者可以发现，有些不等式只有用幂 1 1 1 级数作为工具才能绘出解答． e再一l+i兰了+孬磊三可+… 铡l1980年第4l届美国太学生数学竞赛题)秘3 对于哪一蝗实数，不等式 ·+击一高， 妻(矿+e一：)≤e。2 也即 厶 对所有实数z都成立? 咒 、 7 年(三e)当， 鳞 所给不等式当且仪墨c≥去时成立。此 时，因为 (，一音厂{， (推一0，l，2，…)， (2n)!≥2n! 敌对一镯z，利用酽和e_。麴幂级数展羚式，有 (t一吉)”{(t一去)， 所以 言(el m1一薹南≤ ÷一(1一音)”磊1。 (1) 。 、。‘ 妻熹一e霉≤e。． 另由In(1+z)的幂级数展开式知 台2”心! 反之。若不等式对一切z成立，贝Ij ln(1一言)——音一露1一磊1～砑1一… 0≤lim之[e“一喜(F+e-Z)]一 l l 1 z—OZ。 Z 一百一孬一丽’ lim击[(1+口2+o(x2))一 r-．e，Z。 垂戴褥 (1+丢≯+。(z2))]一r一丢， (，一去)“一exp卜1一言)] 所以 expM—i1一刍一刍)]一 收稿日期：2010一10一19；修改日期：2011—03一17． e飞xp[～(去+壶)]．+㈦ 作者麓介；苏诧明(1949一)，男，安徽密媸人，硕士，教授，默事遴鼹惩 秘研究．Email：hfdxsx@163．corn。