回归到函数——求数列最值项问题的捷径.pdfVIP

2008年第6期 数学教学 6—3l 回归到函数一 求数列最值项问题的捷径 200237华东理工大学附中 张丙成 从函数的角度看数列，数列应为定义在自然 何 一 丽 数集或其子集上的一类特殊函数，而数列的项应 ： 1+ ———— ， 点(n，a )在函数 Y= 、／／119 为该函数的函数值；因此，求数列的最大项与最 n—T 小项问题，完全可以回归到函数问题加以解决， 丽 一何 其主要策略如下． 1+—— 的图象上，由该函数的图象 一 、 回归到基本函数的最值问题，利用其定 一丁 义域的特殊性求解 为 例1 已知数列．[nn)中，nn=== 丽(n ( ， ∈N )，则该数列．[n 】-的最大项是………·() 由图象易知，ns= 三 需为最小，n。= (A)第12项； (B)第13项； (C)第12项或第13项；(D)不存在． 为最大． 解析：观察该函数式的结构，容易想到将原 式化归为“耐克”函数，利用基本不等式求解．因 此n = ，而n+ ≥4、／／两(当且仅 n J- — — n 当n=2、／／39时成立)．又n∈N ，因此n=12 或13时，n 的最大项为a12=a13= ，应选 (C)． 例2 已知{n 】-是递增数列，且对任意的n 图 1 ∈N ，都有a =n +An恒成立，求实数 的取 例4 已知数列 a )的通项公式为 值范围． n = 解析：显然这是一个与二次函数相关的问题， ( )‘”一 ’[(罢)”一 一 ]cn∈N ． (1)求数列 a )的最大项及其值； 而且a 是n开口向上的二次函数，轴n=一 ； (2)求数列 a )的最~INNN值； 由已知条件得，al必须是最小值，由二次函数的 解析：该函数a 可看成n的复合函数9(n)， 性质知道，轴一 昙，即 一3． ／ 、n—l 二、回归到具体函数的图象，形数结合，简 我们也可采用函数换元的方法，令t=( l ， 洁有效 其图象如图2，因此令f(t)=t(t一1)，t∈(0，1)， 例3 已知数列．[n )的通项公式为a = 其图象如图3_由图2得，当n由1增大到+。。时， 2n t由1减为0(不含0)；由图3得，当t由1减为0(不 『二二- ，试求数列的第几项的值为最大；第 含0)时，，(t)由0先减到一{，又增到0(不含0)， 几项的值为最小． 因此从两个函数的特征分析得，复合函数9(n)是 解析 由n = 二