共振条件下一类时滞微分方程周期解的多解性.pdfVIP

第7卷 第3期 广州大学学报(自然科学版) V01．7 No．3 2008正 6月 Journal of Guangzhou University(Natural Science Edition) Jun． 2008 文章编号：1671-4229(2008)03-0033-05 共振条件下一类时滞微分方程周期解的多解性 旷菊红，郭志明 (广州大学数学与信息科学学院，广东广州 510006) 摘 要：应用临界点理论中的伪几何指标理论，研究时滞微分方程二( )=一_厂( ( )， ( 一— ))的周期解的存 在性．研究了当_厂在无穷远处共振时，方程存在多个周期解的若干充分条件，与已有的用分析的技巧来寻找伴 随的平面常微分系统的周期解的方法比较，该方法适合更高维的情形，为以后研究此类方程提供了一个新的工 具． 关键词：时滞微分方程；Hamilton系统；周期解；临界点理论；伪指标理论 中图分类号：O 175．4 文献标识码：A (f，)l厂是奇函数，即l厂(一 ，一y)=一l厂( ，y)． 1 引言与主要结果 (f{)l厂( ，y)： 。。y+0(r)， 。。，这里r=、／／ +y ． 为了方便，我们定义}}(1)表示满足 (t一1T)=一 (t) 本文主要讨论时滞微分方程 的方程(1)的非常数周期解的个数，}}(A)表示集合A中元 dx = 一 l，( ( )， ( 一 )) (1) 素的个数，并且记％=l厂 (0，0)． 假设l厂∈C (R ，R)满足(f )～(f3)．如果对于任意 l厂∈C (R ，R)，周期解的存在性与多重性． 的自然数 ∈N， ≠(一1) (2k一1)，则方程(1)称为 对于以上方程周期解的研究，早在1964年，Jones应用 在无穷远处是非共振的；否则，若存在某个自然数 ∈N 不动点理论对一个具体的方程周期解存在性给出了一些 使得 =(一1) (2k一1)，方程(1)称为在无穷远处是 结果．由于Kaplan—Yorken 耦合系统法的出现，陈永劭 ， 共振的．在非共振情形下，我们已经讨论并得到方程(1) Gopalsamy 和韩茂安_4 等利用这种方法研究此类方程得 多重周期解的一些存在性结论．本文主要讨论共振情形 到存在 或 南周期解的各种条件。这些研究都需要 下，方程(1)周期解的存在性与多解性． 本文的主要结果是： 方程(1)中l厂满足一定条件，能使对应的平面系统的轨迹关 于 和Y轴对称． 定理1．1~~ fff C (R ，R)满Ig(f )～( )，且存 由此我们发现以上寻找方程(1)的周期解的方法都是 在自然数f∈N使得 =(一1) (21—1)．另外厂还满 用分析的技巧寻找伴随的平面常微分系统的周期解，然而 足 研究时滞微分方程周期解的存在性和多重性问题，临界点 ( )：Il厂( ，y)一 y 1有界，且当 +y 一。。时， 理论是一种有效的方法 ．本文主要应用临界点理论