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量子场论笔记 WangHongyu June 22, 2011 1 Why Quantum Field Theory is So Difficult? The key point 对于量子场论有两种比较容易的理解，一是标准量子力学的相对论形式：传统 量子力学是非相对论的，为了处理高能量粒子的运动，必须引入相对论效应， 将量子力学改写成协变形式；然而在这修改过程中必然出现反粒子问题和粒子 对的产生过程，于是原来针对单粒子的量子力学转变成了粒子数可变（随时增 减）体系的量子力学，为了处理粒子数的改变，需要使用将原来的波函数改写 成算符，这就是所谓“二次量子化”过程，完成了二次量子化的量子理论被看 作量子场论。 第二种理解要更加简单而直接：许多物理体系都是场体系，例如光本身就是 一种电磁场，为了研究其量子效应，需要按照量子力学的原则对电磁场运动方 程进行量子化。由于场是全空间分布的连续目标，其量子力学理论将是具有无 穷自由度体系的量子理论；为了求解这样的体系，需要对自由度进行分解，得 到的平面波解称为粒子或者量子，而这种理论就是量子场论。 1.1 量量量子子子化化化 我们采用第二种理解。和传统量子力学一样，量子场论也是基于量子化的手 续，比较流行的方案包括正则量子化手续和路径积分量子化。在大部分情况 下，两种手续都要交替使用。 正则量子化的基本手续就是写出场的拉格朗日量，定义正则坐标和正则动 量，引入正则坐标和正则动量之间的对易关系： ′ 3 ′ [ϕ(x , t), (x , t)] iδ (x − x ) 原则上就完成了正则量子化步骤。 在实践中，由于自由度之间可能存在复杂的耦合，上述量子化需要对独立的 正则动量来完成，因此首先要分解出独立的自由度。对于连续存在于平直空间 的的场，最简单的方法是进行傅立叶分解。对场变量的傅立叶分解得到一系列 平面波态，而自由场的哈密顿变成所有平面波哈密顿的和。对每个平面波态求 解得到其能量和动量，结果表明每个态的能量和动量都是分立的，于是将这种 平面波态称为“粒子”。 1 路径积分量子化更加简单一点，但限制更多。其基本思路是计算演化振 幅 ′ | exp{−iHt}| ψ，并且假定这个演化振幅可以用无限多个积分的极限来逼 近： ′ | exp{−iHt}| ψ lim ∫ dqn ∫ dqn−1... ∫ dq1 ′ |qn n→∞ q |e−iHδt |q q | q |e−iHδt |q q |e−iHδt | ψ n n−1 n−1 2 1 1 相比正则量子化，这一方法的优势是形式简洁，且便于处理复杂约束问题， 缺点首先是在路径积分量子化模式下，“粒子”和“场”的直观意义都是不清 楚的，其次，这一方法只有通过Wick旋转（或者叫做“欧几里得化”,具体说就 是把时间t改写成虚数−iτ ）才能在数学上获得良好的定义。很容易看出来这是 为什么：exp{−iHt}并不是一个衰减函数，于是你无法保证那些偏离预期结果太 远的项的贡献必然趋于0 。相反，在wick 旋转之后，exp{−Hτ}的各种贡献肯定 是会衰减的。 路径积分只是泛函方法的一部分。在传统上，正则量子化方法及“物理解 释导向”曾经是场论方法的主流，但随着规范场论和非线性场论（例如最简单 4 的ϕ 标量场）的发展，正则量子化方法变得极其繁琐甚至无法使用，泛函方法 越来越流行。从原理上说泛函方法出自Feynman路径积分和Schwinger量子作用 量，但在泛函观点上，这两种手段都失去了其“物理背景”而转变为形式理 论。这种形式化和量子力学出现时从波函数和矩阵表述向一般的Dirac矢量描述 颇有相同之处。形式化方法使得量子场论的处理更加简洁和威力强大，但同时 导致了更大的学习和理解障碍。 1.2 微微微扰扰扰展展展开开开和和和费费费曼曼曼图图图 只有自由场的运动模式才能简单的写成平面波的叠加。为了求解带有相互