Riordan型多项式序列的递归关系.pdfVIP

第 25卷 第 3期 甘 肃 科 学 学 报 Vo1．25 NO．3 2013年 9月 JournalofGansuSciences Sep．2013 Riordan型多项式序列的递归关系 王 辉 ，鱼 璐 ，王正杰 (兰州理工大学 理学 院，甘肃 兰州 730050) 摘 要 ： 若一个多项式序列的系数构成的矩 阵是一个 Riordan矩阵，就称其为 Riordan型 多项式 序列．利用 Riordan矩阵的生成矩阵，得到了Riordan型多项式序 列的递归关 系，证明 了Riordan型 多项式序列的一般项恰好是 生成矩阵的主子矩阵的特征多项式． 关键词 ： Riordan矩阵；生成矩阵；行列式 ；递归关 系 中图分类号： O157．1 文献标志码 ： A 文章编号 ：1004—0366(2013)03—0001—04 RecurrenceRelationsforPolynomialSequencesofRiordan Type WANG Hui，YU Lu，WANGZheng—jie (SchoolofSciences，LanzhouUniversityofTechnology，Lanzhou730050，China) Abstract： IfamatrixconsistingofthecoefficientsofpolynomialsequenceisaRiordanmatrix，itisknown asapolynomialsequenceofRiordantype．UsingproductionmatrixofaRiordanarray，weobtainrecurrence relationsforpolynom ialsequencesassociated with theRiordan array，and wealso show thatthegeneral term forthesequencecan beexpressedasthecharacteristicpolynomialoftheprincipalsubmatrixofthe productionmatrix． Keywords： Riordanarray；productionmatrix；determinant；recurrencerelation 由Pascal三角形构成的Pascal矩阵有许多组合 意义．在研究平面上格点的随机游动问题时，Sprugno— li和 Shapiro等 。发现了很多类似 Pascal矩阵的无穷维下三角形矩阵，如 Catalan矩阵，Motzkin矩阵以 及SehrOder矩阵等．运用这些矩阵的统一性质 ，Shapiro引入了Riordan矩阵的概念．在近期的文献 中 ，许 多学者对 Riordan矩阵的性质和应用做了全面深入的研究，从不同角度对 Riordan矩阵进行 了推广．在组合 学中，Riordan矩阵起着越来越重要 的作用． 1 预备知识 我们先回顾Riordan矩阵的概念，参见文献[1—3，7-8]．设g()：=：∑ 。gt”，厂()一∑ 。￡都是形 式幂级数且 g。一 1，fo一0，f ≠ 0．设 R一 (r．)是一个无穷维下三角矩阵．若 R的第 k列的生成 函数是 g(￡) (￡)，我们称矩阵R为一个 Riordan矩阵 ，记作 R一 (g(￡)，厂())．Riordan矩阵R一 (g()，-厂())的元 素的一般形式为 ，一 Et]g(f)厂()．这里 ，[]()表示形式幂级数 矗(￡)中t项的系数． 设 R一 (g()．厂())为一个 Riordan矩阵，B一 ( ，b，b，…) 为一个无穷维列 向量 ，将 B看作序列时 它的生成函数为6()一 ：b．t”．则无穷维列向量A—RB的生成函数为g()6(厂())，记作 (g()，厂())6()一 g(￡)6(厂())． (1) 收稿 日