小学课程中的长度、路程和距离 - 香港数学教育学会.pdf

數學教育第 三十一期 (6/2011) 小學課程中的長度、路程和距離 香巧玲 將軍澳循道衛理小學 馮振業 香港教育學院數學與資訊科技學系 緒論 長度和距離，是小學生最早接觸的度量課題，在初小的三年學習裡， 每年都會碰到（香港課程發展議會，2000 ）。不論從數學或科學的角度看， 長度和距離都是十分重要的基礎概念，在不少其他課題或領域上都會用 上。單看小學數學課程，就會發現雖然高小課程內再沒有延續初小有關長 度和距離的學習，但是潛在的應用情境，卻俯拾即是：周界、面積、體積、 四邊形的特性、對稱、棒形圖、摺紙圖樣、截面、圓、圓周和速率，全部 涉及長度或距離的應用 。由此可知，長度和距離的學習，影響何其深遠。 另一相關的詞語 — 「路程」，見於全港性系統評估（見香港考試及評 核局，2007 ），也曾引發教師的疑惑。由於課程文件並無就「長度」、「距離」 和「路程」作出清楚的定義，要釐清它們的應用範圍及相互關係就變得無 從入手。本文嘗試堵塞這個缺口，介紹一套可用於小學的定義，並指出日 常的教學行為，如何與定義呼應。 正如一般的度量課題的教學一樣，處理長度和距離時，必須區分量度 單位、量度工具和量度方法。為了避免論點分散，下文略去有關這方面的 討論，集中探討與定義相關的教學行為。以下介紹的一套定義，邏輯順序 是這樣的： （一）一段直線的長度 （二）一段曲線的長度 （三）由一點沿某路徑走到另一點的路程 （四）點與點的距離 22 EduMath 31 (6/2011) （五）點與直線的距離 此外，也可在一段直線的長度之後加插一段折線的長度，點與直線的 距離之後加插直線與直線的距離、點與平面的距離及平面與平面的距離。 除了一段折線的長度比較簡單之外，其餘的都不是一般學生可以應付，留 待初中學習不遲。 一段直線的長度 定義1 一段（有起點及終點的）直線的長度，是指此段直線相當於某指定長 度單位直線排起的倍數 （小一教學時可用「個數」）。 應用時，必須於長度值之後標明長度單位。要量度一段直線的長度 ， 方法是把長度單位沿直線累排至與此段直線同長 ，然後數得單位累排出現 的個數。同理，由若干段直線首尾連起所得的折線，其長度可由組成的各 段直線的長度相加而得。 小一「長度和距離」的其中一個學習重點，是以自訂單位量度物件（例 如：數學課本）的長度。在學習活動過程中，學生以某自訂單位 （例如： 曲別針）一個一個地沿直線累排至與數學課本一邊同長（見圖一、二、三）， 所得的曲別針數量就是數學課本一邊（以此自訂單位量度）的長度 （詳見 馮、董、李，2000 ）。 圖 1 （摘自馮、董、李，2000 ，頁108）：當選定的自訂單位只得一件，須以手 指作記號。 23 數學教育第 三十一期 (6/2011) 圖 2 （摘自馮、董、李，2000 ，頁108）：當選定的自訂單位有兩件，便可交替 使用。 圖 3 （摘自馮、董、李，2000 ，頁108）：當選定的自訂單位有多件，可以一氣 呵成地排成一行。 課題的另一個學習重點，是要學生懂得以厘米為長度單位，量度物件 的長度。 依定義，必須沿直線把 1 厘米長度的紙條，一個一個地累排至與 物件同長 （見圖四）。由於這項工作會在日後的量度行為中重複出現，最理 想就是可以只排一次，然後重複引用，厘米尺便是來自這種想法的一種工 具。只要把 1 厘米的長度，一個接一個地沿直線刻在直尺上，再加上方便 讀出量度結果的數字，就能製作一把厘米尺。 圖 4 ：用多個1厘米的公認單位，以直