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第2讲古代西方数学与欧氏几何 古代西方数学 欧几里得几何 古希腊数学的特征 数学文化-1-西方古代数学与欧氏几何 上一页 下一页 返 回 数学文化-序-数学与数学文化 返 回 一.古代数学 1 原始文明中的数学 中国、环地中海国家包括土耳其与北非的近东是人类文明的发祥地。 由于即使在最原始的人类社会，也必须对生活必需品进行以物易物的交换，所以就必须进行计算。从而在原始文明中，也已经迈出了数学上最初的几步。 由于利用手指和脚趾能使计算的过程变得容易，因此，对原始人像小孩一样利用自 己的全部手指和脚趾去数东西也就不足为奇了。带这种记数法的痕迹已融会在今天的语言中，如“digit”一词，不仅有数字1，2，3，…的含义，也有手指和脚趾的意义。手指的利用，无疑地解释了今天记数系统中采用十进位的原因。 在原始文明中已经发明了表示数的特殊记号。特别是，原始人已经知道3只羊、3个苹果有很大的共性，即数量3。这样，数字就被看作是一种抽象的思想——数与特殊实物无关。这一点，在思想史上具有重要的意义。 原始文明也发明了基本的算术四则运算：加、减、乘、除。从对现代落后种族的一项研究中，我们知道，原始部落的牧民在出售牲畜时，总是一只只单独的分开来卖。如果选择用羊的数目乘以每只羊的售价的方法，就会把牧民搞糊涂，以致于怀疑被欺骗了。所以，把握四则运算并不是一件简单的事情。 在原始文明中，基本的几何概念来源于对物质实体所形成图形的观察。例如角的概念，很可能最初就来自于对肘和腿等形成的 角的观察。在许多语言中，表示角的边的词与表示腿的词相同。如我国就将直角三角形的两边称为“勾”与“股”。 在孕育了现代文化和数学的近东文明中最主要的是埃及和巴比伦文明。在其最早期的记载中，我们发现了高度发达的记数系统（数系）、代数学与非常简单的几何学。对于从1到9的数字，埃及人曾用过这样简单的记号来表示：︱，‖，等。对于10，他们曾用记号∩表示。如20就记为∩∩︳。中国在 宋代使用的数字如下： ︱，‖，‖︳，×，…，而O表示0，如10记为︱O。 位值制很重要。采用10进制（以10 为基底），10个符号就足以表示无论多大的数。印度人发明了今天称为阿拉伯数字的数字符号和10进制。古巴比伦人引入的进制是60进制。所以希腊人、欧洲人直到16世纪都将这套记数系统运用于所有的数学计算与天文学计算中。而且直到今天还用于角度和时钟上。 0是一个非常特殊的数字。中国人可以说是最早发明了类似于今天的数字0的符号。在数学史上，一般认为0是印度人发明的。 在古巴比伦和埃及的文明中，算术已经超出了利用整数和分数的范围。他们已能够解决一些含有未知量的方程。实际上，欧几里得体系中的代数知识部分的来源于巴比伦文明。 人们一般认为埃及人在几何方面要超过巴比伦人。一种观点认为，几何学是“尼罗河的恩赐”.希罗多德（Herodotus）曾记述，在公元前14世纪，塞索斯特里斯（Sesostris）王将土地分封给所有的埃及人。如果一年一度的尼罗 河泛滥冲毁了某个人的土地，法老就会根据报告派监工来测量冲毁的土地。这样，从埃及的土地测量中，几何学（geometry）——geo意指土地，metron意指测量——就产生并兴盛起来。要注意的是，希罗多德可能正确的指出了几何学在埃及受重视的原因，但事实是在公元前14世纪以前的1000多年前几何学就已经存在了。 埃及人和巴比伦人的几何学是经验的法则 或者说是实际技艺。在他们看来，直线是拉紧的绳子，平面是一片平地的表面。他们求谷仓体积、土地面积的公式是经过反复试验 得到的,因此许多公式难免有错.如埃及人求圆面积的公式是3.16乘以半径的平方,尽管这对古埃及人来说已经是非常精确的了,但毕竟是不正确的. 2、历法中的数学 埃及人和巴比伦人把数学大量地应用于实际生活中.但并不能认为埃及和巴比伦的数学仅仅局限于解决实际问题.相反,通过仔细的研究我们发现,人类思想和激情的成果,无论是艺术、宗教、科学的成果，还是哲学成果，都与一定的数学内容有关。 在天文学和数学应用于计算历法和航海之前，人类本能的好奇心和对自然的恐惧已 经有若干年了。人类受不可抑止的哲学精神的驱使，耐心地观察太阳、月亮、星星的运行。这些先知们终于从他们的观察中得出他们自己的天体运行图象。在很早的埃及文明中，人们就知道一年大约为365天，并且知道每年的季节。他们也通过观察知道，每年当天狼星出现在黎明的天空时，就表明尼罗河的洪水到达开罗了。靠耕作尼罗河边上的肥沃土壤为生的埃及人，必须对洪水作好充分的准备。 同样，所有