91 定积分概念.doc

定积分 一、主要内容与教学要求 主要内容 概念引入（曲边梯形面积与变力作功，定积分定义，定积分的几何意义。牛顿－莱布尼兹公式。可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类闭区间上的连续函数、只有有限个间断点的有界函数、单调函数。定积分的性质积分中值定理。微积分学基本定理定积分的换元积分法分部积分法。可积 教学要求 1. 深刻理解定积分概念,掌握构造积分和与积分和极限的意义。 2. 理解可积必要条件了解可积充要条件几种可积函数类。微积分学基本定理熟练掌握定积分的换元法分部积分法可积充要条件。 教学重点： 1. 定积分的概念及性质，构造积分和与积分和极限的意义。 2. 可积的条件，可积函数类。 3. 变限积分与原函数的存在性、微积分学基本定理定积分的换元法分部积分法，需从两个方面入手，一是，所有小区间上的振幅都可任意小，例如，连续函数的可积性的证明；二是所有小区间的长都一致地小于，如单调函数的可积性。一般情况，是将振幅和分在两部分，一部分是第一种情况，另一部分是第二种情况，例如，只有有限个间断点的有界函数的可积性的证明。另外还要求学生掌握可积的必要条件，充要条件，可积函数类及相关结论。 三、本章习题处理意见 1．§9.1定积分概念(P204)习题： 第1, 2 (2, 4) 题课外作业。其余的习题学生自己练习。 2. §9.2牛顿－莱布尼兹公式(P207)习题： 第3题可在讲授本节相应内容时顺便处理。 1，2两题可作课外作业。 3. §9.3可积条件(P212)习题： 1，2，4题可作课外作业，5题可在证明定理9.4时作为引理讲授，或在第一章确界概念一节作为例题讲授。3题在习题课上处理。注意，1-4题的结论在后面的内容中会作为已知结论直接运用。 4. §9.4定积分的性质(P219)习题 2，3,4,5，6可作为课外作业，1，7题在习题课上处理，10，11,12提示解题思路，供程度较高的同学参考。8，9两题在讲解相应的定理时作为对定理的补充加以介绍。 5. §9.5微积分学基本定理?定积分计算(续)(P229)习题 1题作为公式课堂讲授，2，3,4，5,6,7，10均可选取部分作为课外作业。注意5，6两题可作为定理使用，结论应牢记。7题的方法与结论在定积分的计算中很有用。9，11,12,13可在习题课上讲授。14，15可不作要求。 6. 总练习题(P237) 1，8两题与P220第11题方法上相类似，可作为一组习题，讲解一题，其余可自行解决。2,3两题可作为课外作业。3,4，5，9可在习题课上讲授，6，7,8可不作要求。 §1 定积分概念 一 问题的提出 不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。先看两个实例。 1．曲边梯形的面积 设函数在闭区间上连续，且。则由曲线，直线，以及轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。 在区间内任取个分点，依次为 它们将区间分割成个小区间，。记为，即，。并用表示区间的长度，记，再用直线，把曲边梯形分割成个小曲边梯形（如上右图）。在每个小区间，上任取一点，，作以为高，为底的小矩形，其面积为，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于连续，它在每个小区间上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。于是，该 曲边梯形面积的近似值为。从而 。 2．变力所作的功W 设质点受力F的作用沿轴由点移动到点，并设F处处平行于轴（如下图），同上述，有，而 。 二 定积分的定义 定义1 设闭区间[]内有个点，依次为 ， 将闭区间[]分成个小区间，记为，，简记为，或并称为区间[]的一个分割。同时也用，，并记称为分割T的模。 定义2 设是定义在[]上的一个函数，对于[]的一个分割，任取点，，并作和式。称此和式为在[]关于分割T的一个积分和，也称黎曼和。（注：积分和既与分割T有关，也与点的取法有关）。 又设是一个确定的实数，若对任给的，总存在，使得对[]的任意分割T，以及，，只要，就有 。 则称函数在[]上可积或黎曼可积。数称为函数在[]上的定积分或黎曼积分，记作： 其中称为被积函数，称为积分变量，[]称为积分区间，称为被积式，分别称为积分的下限和上限。 定积分的几何意义：定积分的几何意义就是-------由连续曲线及直线所围曲边梯形的面积。 注：定积分的值只与被积函数及积分区间[]有关，而与积分变量所用的符号无关。 例1 求由抛物线，，及所围平面图形的面积。 解 （在用定义求定积分时，一般都要选用特殊的分割T和特殊的点），如下图： 取分割T为等份，并取，。则所为