谈中位数 - 国立高雄大学统计学研究所.PDF

談中位數 黃文璋 國立高雄大學統計學研究所 某高中的一年級有十幾班，入學後第一次月考完，想評 比各班某科的成績。各班的分數全攤開來，互有高低，看不 出所以然。如何比呢？依各班該科平均成績來定優劣，為一 常見的方法。人們常想以一個單一的值，來代表一組數據， 平均數便是常被採用的。平均數有一些優點，如意義明確， 及計算容易等。 以平均數來充當一組數據的代表值，並非永遠很恰當。 職業球隊，球員的薪資，差異往往很大。每隊總會有一兩位 超級好手，其薪資令人仰之彌高。但大部分的球員，薪資都 不太高。這時平均薪資，常被少數天價球員，大幅拉高。外 界覺得打球待遇真好，不少球員卻只能苦笑。當數據中有很 極端的值時，平均數便不見得是很適合的代表值了。這時中 位數，常是代表值的另一選項。 中位數如何定義？九年一貫數學課綱裡說“中位數是 將資料排序後，前後各切一半的中間位置資料值＂。這樣定 義，符合我們的直觀。但依此定義，在求中位數時，卻屢引 起一些困惑。例如，有數據 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，中間位置為3 ， 但如何前後各切一半？又如對於數據 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，前 1 後各切一半，有一半是 1 ，2 ，3 ，另一半是4 ，5 ，6 ，但中 間位置是那一個？ 3.5嗎？中位數可以不必是數據中的某一 數嗎？看來前述定義不算是很周詳。 另一種常見的的定義是，將所有數據由小排到大，若數 據有奇數個，則正中間那個，就是中位數；若數據有偶數個， 則取最中間那兩數之平均當做中位數。 再給一常見的中位數之定義，此定義所決定的中位數， 為數據裡的某一個。若數據中在某值之前及之後，皆至少有 50%個，則該值便為此組數據之中位數。注意：這裡的之前 及之後，都包含該值。本定義是依循百分位數的定義而來。 我們來重新檢視前述 2筆數據。對 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，顯然3 為中位數，因在 3 之前及之後，各有 3個數，皆佔 60% ，即 皆至少有 50% 。其次對1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，因在 3 之前及 之後，各有 3個及 4個數，分別佔 1/2及 2/3 皆至少有， 50% ； 同理 4 亦為中位數。此筆數據有兩個中位數，有時為了簡便， 取二數的平均 3.5 ，當做中位數。平均數有時與中位數很接 近，甚至是同一值。如數據 1 ，2 ，3 ，4 ，5 之平均數與中位 數都是 3 。至於對1 ，2 ，3 ，4 ，500 ，平均數為102 。那一特 別大的數 500 ，讓平均數增大不少，但中位數仍為3 ，並不 受 5變成 500 之影響。 有人可能覺得統計果真是麻煩。既然稱做中位數，不就 該是位居中間，前後各半，簡單明瞭。如今居然說這樣的定 義窒礙難行，提出不只一個修正版，其中一個改為前後都 “至少＂各半，且還不必位居中間。只是修正的定義，看起 2 來卻的確較合理。究竟是怎麼回事？曾有學者指出“統計只 適合處理大量數據＂，試圖以此消弭一些統計所可能引起的 爭議。但這講法並不正確，因即使很少量的數據，求平均數， 也毫無問題。因此統計絕非只適合處理大量數據。而有些民 調被認為結果不可靠，關鍵也並不在於樣本數的多寡。 這樣說好了，數學要求明確，放諸四海而皆準。在數學 課程裡，有爭議的中位數定義，於實務中，卻往往不算什麼 問題。以美國棒球大聯盟 (MLB)2015 年球員的年薪來說，有 報導說中位數是 470萬美元。怎麼那麼粗糙，只給到十萬？ 因實際收入可能包含績效獎金等，說來有點複雜，且薪水涉 及隱私，記者掌握的資料不見得都很可靠，由於原始數據便 可能不精確，這時太在乎細節，就不是那麼必要，以免見樹 不見林。因此是否真有一個中間位置，是否真能前後各切一 半，何須太在意？只要是一差不多在中間的值，讓人對球員 年薪落在那裡，能略有概念就可以了。