等差数列前n项和与函数.PPT

金品质?高追求 我们让你更放心 ！ ◆数学?必修5?(配苏教版)◆ 金品质?高追求 我们让你更放心！ 返回 ◆数学?必修5?(配苏教版)◆ 2．2　等差数列 2．2.2　等差数列的前n项和 数列 数学史上有一颗光芒四射的巨星，他与阿基米德、牛顿齐名，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他就是18世纪德国著名的数学家——高斯． 高斯在上学时，就能很快地算出1＋2＋3＋…＋100的结果．高斯是这样算出：1＋2＋3＋…99＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050.他的这种算法，就是等差数列求和的方法． 等差数列的前n项和的公式 ②式可以改写成： 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含有常数项，所以可以借助二次函数的有关性质(如单调性、极值性等)来处理等差数列前n项和Sn的有关问题，它的图象是抛物线 上横坐标为正整数的一群孤立的点． 若d＝0，则Sn＝na1. 数列{an}为等差数列的充要条件是：数列{an}前n项和可以写成Sn＝an2＋bn的形式(其中a，b为常数)且公差为2a. 等差数列前n项和公式的性质 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍然是等差数列． (2)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1) (an，an＋1为中间两项)，且S偶－S奇＝nd， 若项数为2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an(an是中间项)，且S奇－S偶＝an， 下面对它们做简要证明： ①若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－…－a2n－1＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝d＋d＋d＋…＋d＝nd.1 注意：(1)熟悉解题基本方法．在等差数列中，涉及5个元素a1，d，n，an，Sn，其中a1，d称为基本元素．因为等差数列的首项a1，公差d已知，则此数列完全确定，故等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题． (2)熟悉并掌握性质，往往能找到简捷明快、优美灵活的解题技巧． (3)要灵活地处理求和问题． 对于有的问题，如果利用等差数列前n项和公式，问题完全可以得解，但是如果根据等差数列有关性质，灵活地加以处理，不使用前n项和求和公式，反而使问题解答得更加简单、快捷，对于这类问题也要引起注意，以便提高我们解题质量和效果．如已知等差数列{an}中， a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.因为S5＝5a3＝40.则a3＝8.a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得d＝3.∴a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.此解法比常规解法优越得多． 等差数列前n项和与函数 设函数f(n)的定义域为正整数N*，且满足f(m＋n)＝f(m)＋f(n)＋mn，且f(1)＝1，求f(n)． 分析：正确理解函数符号和函数方程的赋值法，然后利用等差数列求和公式求出结果． 解析：当m＝1时，有f(n＋1)＝f(1)＋f(n)＋n， 即f(n＋1)－f(n)＝n＋1，令n＝1,2,3，…，k－1得： f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝3，f(4)－f(3)＝4，… f(k)－f(k－1)＝k，将这k－1个等式相加，得： f(k)－f(1)＝2＋3＋4＋…＋k，. 名师点评：将f(n＋1)－f(n)＝n＋1赋值得出k－1个等式后再累加，充分利用了n＋1，n的两个函数式之差这一具体特征． 变式迁移 1．已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为286，求项数． Sn中的最值问题 等差数列{an}中，a1＜0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？ 分析：写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件． 解法三：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0， ∴3a11＝0，∴a11＝0.∵a1＜0， ∴前10项或前11项和最小． 解法四：∵S9＝S12，∴Sn的图象所在的抛物线的对称轴为x＝ ＝10.5，又a1＜0， ∴数列{an}的前10项或前11项和最小． 名师点评：本例四种解法从四个侧面解前n项和最值问题，方法迥异，殊途同归． 解等差数列的前n项和最大(最小)问题的常用方法有： (1)二次函数法：由于 是关于n的二次式，因