x 以下的样本点的比例。对任一 x ∈ 的固定点.pdfVIP

第 28 课 28.1 柯尔莫戈洛夫——斯米尔诺夫检验 设有服从某一未知分布 的独立同分布样本 Ρ X 1, …, X n ，想要检验的假设是Ρ是一特定 的分布Ρ0 ，即在下面两个假设之间选择： H : Ρ=Ρ ⎧ 1 0 ⎨ H : Ρ≠Ρ ⎩ 2 0 2 在讨论连续分布的拟合优度检验时考虑过这个问题。但在这里，为了应用皮尔逊定理和χ 检 验，将这个分布离散化，考虑求导数后较弱的假设。根据柯尔莫戈洛夫和斯米尔诺夫（理论）， 下面考虑一个避免了离散化但从某种意义上讲更相容的假设。 记F x =Ρ X ≤x 为累积分布函数。即所谓经验分布函数： ( ) ( 1 ) 1 n F x =Ρ X ≤x I X =≤x n ( ) n ( ) ∑ ( i ) n i 1 就是在水平x 以下的样本点的比例。对任一x ∈的固定点，大数定理给出： 1 n F x I X =≤x →ΕI X ≤x =Ρ X ≤x F x n ( ) ∑ ( i ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) n i 1 即在集合(−∞,x ]中样本的比例逼近这个集合的概率。 易证明这个逼近对所有x ∈是一致的： sup F x −F x →0 n ( ) ( ) x ∈ 图 28.1 累积分布函数和经验分布函数 即F 与F 之间最大的差在概率上趋于 0。柯尔莫戈洛夫——斯米尔诺夫检验的最重要发现 n 就是这一最小界的分布与样本的分布无关。 定理 1. 分布 sup F x −F x 与F 无关。 x ∈ n ( ) ( ) 证明： 为简单起见，假设F 是连续的，即这一分布是连续的。F 的逆记作 F −1 y min x : F x =≥y ( ) { ( ) } 对变量y 作变换y F x 或x F −1 y ，可将下式写成 ( ) ( ) ⎛ ⎞ ⎛ −1 ⎞ sup F x F x t sup F F y y ≤t Ρ