‘冯诺依曼的蜜蜂’的推广.pdf

EduMath 14 (6/2002) 「馮諾依曼的蜜蜂」的推廣 陳聖元 台北市龍山國民中學一年級 拜讀《數學教育》第 13 期蕭文強教授大作「馮諾依曼的蜜蜂」後，我 提出如果蜜蜂去程〈順風〉、回程〈逆風〉時飛行速度不同，則此問題應如 何解？有沒有快捷巧妙的解法？ 「馮諾依曼的蜜蜂」的原問題為： 甲和乙相隔20 哩，各自乘自行車迎面而行，時速都是 10 哩。有一隻 蜜蜂從甲飛到乙，碰到乙便轉頭飛向甲，碰到甲便轉頭飛向乙，如此這般 來回穿梭，直至甲和乙在中間碰頭。如果蜜蜂的飛行時速 15 哩，問蜜蜂共 飛了多少哩？ 根據馮諾依曼自稱他的解法「只是計算蜜蜂來來回回每次飛多遠，把 它加起來，求一個無窮級數的和而已」，我揣摩出他的解法： 20 蜜蜂第一趟飛了 = 0.8 小時，即飛了 15 × 0.8 哩 = 12 哩 15 10+ 20(1 0.8) − 蜜蜂第二趟飛了 小時，即飛了 15 × 0.16 哩 = 2.4 哩 15 10+ 20(1 0.8)(1 0.8) − − 蜜蜂第三趟飛了 小時，即飛了 15 × 0.032 哩 = 15 10 + 0.48 哩 M 20(1 0.8) − n−1 0.8 0.8 蜜蜂第n 趟飛了 n−1 小時，即飛了 15× n−1 哩 = 15 10+ 5 5 12 n−1 哩 5 45 數學教育第十四期 (6/2002) M a 利用無窮等比級數求和公式 S （其中a 為首項，r 為公比），得 1−r 出小蜜蜂共飛了： 12 12 + + +12 +2.4 =+0.48 L n−1 L 1 15 哩 5 1− 5 這個按部就班的解法雖然不似快捷解法的機靈簡潔，但是對於我提出 推廣的問題，我們似乎不容易找到快捷解法，而這個硬幹的做法正可展現 其優勢了。 假設原題改為蜜蜂去程〈順風〉時速 18 哩，回程〈逆風〉時速 12 哩， 其解法為： 20 5 5 蜜蜂第一趟飛了 小時，即飛了 18× 哩 18 10 + 7 7