排列与组合19061.docVIP

计数原理与二项式定理 第一节 排列与组合 考纲要求： (1).理解排列与组合的概念 (2).能利用计数原理推导排列与组合公式 (3).能解决简单的实际问题 知识梳理 1. 加法原理：做一件事，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同 的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办 法中有种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法． 2.乘法原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法， 做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法． 那么完成这件事共有种不同的方法． 3.排列 排列的定义：从个不同的元素中取出个元素（），按照一定的顺序排成 一列，叫做从个不同元素中任意取出个元素的一个排列。 排列数的定义：从个不同的元素中取出个元素（）的所有排列的个数 叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数，用表示。 排列数公式： 全排列：个不同元素全部取出的排列，叫做个不同元素的一个全排列， ，于是排列数写成阶乘的形式为 ，这里规定 组合 组合的定义：从个不同的元素中取出个元素（）为一组，叫做从个 不同的元素中取出个元素（）的一个组合。 组合数的定义：从个不同的元素中取出个元素（）的所有组合的个数 叫做从个不同的元素中取出个元素的组合数，用表示。 组合数的计算公式：，由于，所以 组合数的性质：1. 2. 典型例题： 例题1. 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ 解析： （组合问题） 变式训练. 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？ 解析：（排列问题） 例题2.计算：和 解析：16 32 推广： 例题3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． ⑴ 都不是次品的取法有多少种？ ⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？ ⑶ 不都是次品的取法有多少种？ 解析：⑴ ； ⑵ ； ⑶ ． 变式训练．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？ 解析：分为三类：1奇4偶有 ；3奇2偶有；5奇1偶有 所以一共有++． 例题4：4男3女坐成一排 共有多少种不同的排法？ 某人必须在中间，有多少种不同的排法？ 某二人只能在两端，有多少种不同的排法？ 某人不在中间和两端，有多少种不同的排法？ 甲，乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？ 甲，乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 甲，乙两人必须相隔1人，有多少种不同的排法？ 4男必须相邻，有多少种不同的排法？ 4男必须相邻，3女也必须相邻，有多少种不同的排法？ 3女不相邻，有多少种不同的排法？ 4男不相邻，有多少种不同的排法？ 4男不在两端，有多少种不同的排法？ 甲在乙的左面，有多少种不同的排法？ 4男不等高，按高矮顺序排列，有多少种不同的排法？ 解析：（1）相当于7个元素的全排列，有种。 某人占据中间，还有6个位置，6个人任意排列，有种。 某二人在两端，有种，另外5人在中间5个位置有种， 故共有种。 某人不在中间和两端三个位置，可排在另外4个位置上，故 共有种（或种）。 甲，乙相邻，可视为一个元素，故有种。 可用插空法，先把其余5人排定后，甲，乙两人可往中间插， 故有种，或用排除法，有种。 甲，乙两人必须相隔1人，即甲，乙两人分别在另外5人任 一个的两侧，故共有种。 （8）4男必须相邻，可视4男为一个元素，故有种。 （9）4男3女各自不分开，可视为各自为一个元素，故有 种。 （10）4男排好后，有5个空，为使3女不相邻，可任意向5个空 里排，故有种。 （11）3女排好后，有4个空，4男往里排，故有种。 （12）4男不在两端，即两端只能排女的，故有种。 甲在乙左边，甲在乙右边，在全体排列种均占一半，故有 种。 先选定4男的位置，有种，3女可以任意排，4男的顺序 由小到大，还可以由大到小两种排列，故有种。 变式训练．身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？ 解析：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有种方法．根据分步计数原理，一共有＝240种方法． 变式训练：马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同