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第八讲 统计计算方法介绍 随机数的产生 均匀分布随机数的产生 逆变换法 合成法 筛选抽样 常用分布的抽样方法 随机模拟计算 统计模拟 随机投点法 样本平均值法 重要抽样方法 参考资料 [1] 茆诗松 王静龙 濮晓龙 《高等数理统计》 高等教育出版社 2000 [2] 肖云茹 《概率统计计算方法》 南开大学出版社 1994 [3] 高惠璇 《统计计算》 北京大学出版社 1995 [4] 李庆扬 王能超 易大义 《数值分析》 华中理工大学出版社 1986 [5] [美]Sheldon M. Ross Simulation/《统计模拟》 人民邮电出版社 2006 统计计算方法简介 统计常用数值方法 矩阵分解、特征值计算、积分计算、求方程根 分布函数分位点的计算 概率统计模拟 随机数产生（伪随机数） Monte-Carlo方法 多元统计分析方法 判别分析、逐步回归、聚类分析、主成分分析、因子分析、典型相关分析 其它 一 随机数的产生 随机数产生方法 查表 物理方法 数值方法 随机数产生的特点 均匀性、随机性、独立性、前后一致性 足够长的周期 速度快 均匀随机数产生 平方取中法 线性同余法 1.1 均匀随机数产生（一） 平方取中法 2s位七进制数平方后4s位，取4s位的中间2s位为下一个随机数 例 2s=4 x0=0.4606 x02 x1=0.0368 x121.1 均匀随机数产生（二） 线性同余法 a, c, m整数 例： x0=7, a=5 , m=16 c=3 x1=5×7+3 (mod 16)=6 r1=6/16=0.375 注：m一般要取很大，保证足够长的周期，如 231=2,147,483,648 xn=314159269xn-1+453806245 1.2 逆变换法 定理： 设随机变量X的分布为F(x)，定义 F-1(y)= inf {x: F(x) ≥ y }, 0≤ y ≤1 若随机变量U服从(0,1)上的均匀分布，则 X=F-1(U)的分布函数为F(x) 证明： P{X ≤ x } = P{F-1(U) ≤ x) =P(U ≤ F(x)) =F(x) 注： 要产生来自F(x)的随机数，只要先产生来自U(0,1)的随机数u,然后计算F-1(u)即可，步骤为： 1）由U(0,1)抽取u 2) 计算x= F-1(u)，其中F-1如上式中定义 1.2 逆变换法（二） 例1 设X~U（a, b),从而F-1(y)=a+ (b-a)y, 0≤y ≤1 若由U(0,1)抽得u, 则 a+(b-a)u是来自U(a,b)一随机数 例2 设随机变量X 的密度函数为 1.3 合成法 方法： Butler: 如果X的密度函数p(x)难于抽样，而X关于Y的条件密度函数p(x|y)以及Y的密度函数g(y)均易于抽样，则X的随机数可如下产生： (1)由Y的分布g(y)抽取y (2)由条件分布p(x|y)抽取x 例： 设X的密度函数为p(x)= ，其中ai0, pi(x)是密度函数， ,令a0=0,由合成法，X的随机数可如下抽取: 1.4 筛选抽样 方法： 如果p(x)可表示成p(x)=c · h(x)·g(x),其中h(·)是一个密度函数易于抽样，而0g(x) ≤1, c≥1是常数，则X的抽样可如下进行： 则上面的抽样方法称为筛选抽样(Acceptance/Rejection Sampler) 理论证明（略） 若X的取值空间有限，如X~p(x),-∞a≤x ≤b ∞,并设 M=sup p(x)存在，则可取h(x)=1/(b-a), c=M(b-a), g(x)=p(x)/M, 则抽样步骤可以简化如下： 1.4 筛选抽样（二） 例 1。设p(x)=4x3, 0 ≤x ≤1,此处M=4, a=0, b=1, h(x)=1, g(x)=x3,抽样方法如下： 1.5 常用分布抽样方法 指数分布的抽样法 正态分布的抽样法 离散分布的抽样法 随机向量的抽样法 1.5.1 指数分布的抽样方法 X~p(x)=(1/θ)e-x/θI(0x), θ0已知，则X/ θ~Exp(1),则只需讨论标准指数分布Exp(1)的抽样方法 方法 一、U=F(X)=1-e-X 即X= -ln(1-U) ，U和1-U同分布 由逆变换法，上式可以改写成X=- l