离散时间信号处理（英文版）chap7-第3讲ref.pptVIP

Problem of Impulse Invariance 7.1.2 Bilinear Transformation Transformation of Frequency Determination of c Determination of c Transformation from AF to DF Summary of Bilinear Transformation Example 7.3 Bilinear Transformation of a  Butterworth Filter Example 7.4, 7.6, 7.7 Homework 7.4(b), 7.23(b) 频率响应混叠失真 多值映射关系 Transformation principle： 首先将s平面压缩到 s1平面上从 -j?/Td 到 j?/Td的一条横带里 然后通过 将此横带变换到整个z平面 这样s平面和z平面就是一一对应的关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象。 z-plane s-plane s-plane z-plane s1-plane Let then, one-to-one mapping The imaginary axis of the s-plane is transformed to the unit circle of z-plane; The left part of the s-plane is transformed inside the unit circle of z-plane ; the right part of the s-plane is transformed outside the unit circle of z-plane. Thus, a causal stable AF is transformed to a causal stable DF by the bilinear transformation. Then, Cost: serious nonlinear relationship between and Since aliasing is avoided. 如：一个模拟微分器不能通过双线性变换法得到数字微分器。 Transformation of Frequency 一个线性相位的AF经双线性变换后就得到非线性相位的DF，不再保持原有的线性相位了。 这种非线性关系就要求AF的幅频响应必须是分段常数型(piecewise-constant magnitude-response characteristics)的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数(这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的幅频特性)，不然双线性变换所产生的DF的幅频响应相对于原AF的幅频响应就会有畸变。 Transformation of Frequency 对于幅频响应是近似分段常数的滤波器，经双线性变换后，仍得到幅度特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，对此可通过频率的预畸变(prewarp)来加以校正。 如：要求DF的截止频率为  , 利用 变换成模拟频率 ，根据这组模拟频率来设计AF，对此AF采用双线性变换( )所得到的DF的截止频率正好是原先所要求的。 当 较小时, 有： 此时，AF的低频特性近似等于DF的低频特性。 用不同的方法选择c，可使AF的频率特性与DF的频率特性在不同频率处有对应的关系。 使AF与DF在低频处有较确切的对应关系， 即在低频处有： 使DF的某一特定频率(如截止频率 )与AF的某一特定频率 严格对应，即： 则有： 优点：在特定的模拟频率和特定的数字频率处，频率响应是严格相等的，因而可以较准确地控制截止频率的位置。 s平面到z平面是一一对应的映射： 优点：避免了频谱混叠 缺点：模拟频率与数字频率之间呈非线性关系： 只适用于设计具有近似分段恒定幅频响应特性的滤波器，如频率选择低通、高通、带通、带阻滤波器。 Specifications for the DF: Solution : Transform the DF specifications to specifications on the AF So, prewarp the critical frequencies