论微积分求导公式的一种全新推导模式及贝克莱悖论的彻底消除.doc

论微积分求导公式的一种全新推导模式 （解方程法）及贝克莱悖论的彻底消除 沈卫国 （《区域供热》杂志编辑部，北京市 100026） 【内容简介】本文首先讨论了历史上微积分导数推导过程中的贝克莱悖论及近代改进后的ε- δ方法的局限性和不彻底性，它仅仅使问题表面上被解决而实质上被隐藏起来了。本文以一个实例提出一种在根本上不依赖无穷小及潜无穷下的ε-δ过程、极限概念的新的求导方式。传统理论能够得到的结果，它都能得到，但可以彻底消除贝克莱悖论。在此基础上，作者仔细分析了速度、瞬时速度、平均速度等与之有关的基本概念并给出全新揭示，同时指出：传统理论之所以产生相关矛盾、悖论，正是在这些概念的理解上有问题。 【关键词】微积分求导公式 ε-δ方法 解方程法 贝克莱悖论 瞬时速度 切线 割线 曲线 一、基础微积分导数推导中的“贝克莱悖论” 众所周知，牛顿等在微积分导数的推导过程中，会产生所谓“贝克莱悖论”。就以最简单的二次函数y=x2为例，牛顿等对其导数的推导步骤为： y+Δy =(x+Δx)2= x 2+2 x·Δx +Δx 2 y +Δy - y = x 2 - x 2+2 x·Δx +Δx 2 Δy =2 x·Δx +Δx 2 ＝2x+Δx （1） 令Δx→0，则有=2x+0=2x 导数 y′==2x (1′) 见图1所示。图中B点沿曲线趋近A点，并重合。这时产生一个问题：当Δx→0而Δx≠0时，式（1）等号右边的Δx≠0，最后结果2x显然得不到；但当Δx=0时，=，数学中分母不能为0，此式为“不定式”，是非法的。此即著名的“贝克莱悖论”。 二、传统微积分理论中对“贝克莱悖论”的解决方案及其问题 微积分在牛顿、莱布尼茨时代，不甚注重严格性。推导中的粗疏和不严格之处并未引起多大注意。只是在贝克莱提出这个著名悖论后，方才引起人们的重视。其后，经过欧拉、拉格朗日、波尔查诺、柯西、达朗贝尔等的工作，终于得到现在已成经典的“ε-δ方法” [1][2]。一般认为，这一方法本质上是建立在潜无穷观上的，它允许Δx→0，但Δx≠0，取极限后，用人为“定义”的方法令这个极限值即为该点的函数值，以保持函数在该点的连续性。此方法只是表面上消除了牛顿求导方法中的在Δx=0时的贝克莱悖论问题。[1] 但实际上，由于此种方法的人为性，它并未给出在某点的导数求解过程中，在该点究竟发生了什么。它号称“求出”了某点的某值，又不允许到达该点而只能无限接近，同时该点函数之值又被人为“定义”也就是“规定”出而非求出它刚好能够（可视为“碰巧”）等于该点所具有的、别的点趋近于它的“极限”值。如此拖泥带水的方法很不自然，不能令人满意。比如，文献[1]中举的一个有关求某点速度的例子，最后得到： 其中Δs为距离增量；Δt为时间增量；v为某点速度。很显然，Δs/Δt是有明确的物理意义的，Δt不能等于0。可是在Δt＝0时的那一瞬间（时刻），究竟发生了什么？为什么还会有、且唯一有精确的、原本只作为Δt→0而Δt≠0的极限存在的v值？这一切都没有给出令人信服的解释。我们知道，速度这一概念按传统理解，为单位时段物体所运动的距离。离开了“时段”概念（无论其多小），还能有速度概念吗?我们所说的或所认为的“瞬时速度”、“某时刻的速度”，究竟所指为何？难道不是吗：在Δt=0时，即时间看起来“静止”时，Δs的确也只能为0，那么Δs/Δt顺理成章地为0/0不是很自然吗？但如此一来，又明显违反基本数学原则。物理上也解释不通这个“瞬间速度”究竟是什么。但多少年来，人们又在毫无顾忌地使用这个概念。总之，问题仍旧没有从根本上被解决和解释。 还有一个问题。微积分求导的“现代解释”中的潜无穷观点及过程不能自然到达所求点，只能靠“定义”，而现实中的运动、速度，“到达某点”及经过某段路径都是实实在在的，本质上是一个实无穷过程，这是一个矛盾。总之，现在的微积分理论并不像一些人所声称的那样在逻辑上是“严谨”的，用人为“定义”所求点函数存在且连续的不自然的方法，只是在表面上消除 “贝克莱悖论”。我们不应忘记，微积分中某点的导数是被牛顿等（推导、计算）出来的，而不是定义出来的。在这个意义上，贝克莱悖论并未在根本上被解决，它依然存在。事实上，如前文所述，即使要用“定义”某点连续的方式来消除贝克莱悖论，也要事先求出该点极限值，但事实上存在一个ε-δ方法潜无穷极限悖论：设有ε，总有δ，就意味着不可能有到达Δt＝0之时，那怎会知道存在一个极限？很显然，这是已知Δt＝0时函数之值后才如此说的。而如果事先已知Δt＝0时函数有值，为何又偏说到达