第二重要极限的一种简易变形.pdfVIP

第 32卷第 5期 大 学 数 学 Vo1．32，№．5 2016年 1O月 CoLLEGE M ATHEM ATICS 0ct．2016 第二重要极限的一种简易变形 牛传择 ， 桑 波 ， 颜 红。 (1．聊城大学 数学科学学院，山东 聊城 252059； 2．聊城市东 昌中学，山东 聊城 252000) [摘 要]利用无穷小量，给出了第二重要极限的一类变形．讨论了该变形在求不定极限中的应用技巧， 利用带佩亚诺型余项的泰勒展开式，该变形可以较快的解决一些求不定极限的问题．结合历年考研试题阐明 该变形在求 1 型不定式极限中的优势． [关键词]第二重要极限；无穷小量；泰勒公式 [中图分类号]013 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2016)05—0105—04 l 引 言 limf1+÷)=e是高等数学教材[1]中的两个重要极限之一，也是研究生人学考试的重要考点． z_．∞ 、 工 ， 在教学过程中，引导学生正确理解和掌握此类重要极 限及各种变形是必要的．从应用理念 出发，罗宝华 等L2对该极限的教学进行了教学设计．在求 I 型幂指函数的极限时，传统上有两种做法：一是取对数 n ^ 一 转化为 或三 型不定式极限，结合等价无穷小或是利用洛必达法则[3求解；二是将所求极限变形为重 U w 要极限的形式加 以求解．在极限的求解步骤与应用技巧方面，华婷等 给出求 1。。型不定式极 限的三步 骤法 ，王秀旺等[5]较为全面的总结了该重要极限的常用的一些应用技巧和变化形式．结合无穷小量 ，本 文给出第二重要极限的一种简易变形——式(1)，并利用带佩亚诺型余项的泰勒展开式，通过一些历年 考研试题阐述该变形在求不定极限中的优势． 2 主要结果 约定 limf(x)：n表示在 自变量 z的变化过程中，()的极限是n且在同一定理或推论中 自变量 的变化过程相同．记。(，(z))表示满足lim碧=0的任意的某个函数^()，即当，(z)是无穷小量 的时候，o(，())是 ，()的高阶无穷小量 ，当厂(z)是无穷大量的时候 ，o(厂(z))是 ()的低阶无穷 大量． 定理1设limf(z)：limg()：0，且lim爱 一k，其中k为常数，则 lim (1+厂()+o(厂(z)))而 而 = e． (1) 证 以自变量z— 。为例，其余情况证明类似．因为 lim[f(x)+o(，(z))]一0，所以 — 0 ln[1+厂()+o(厂())]～，(z)+o(厂(z))， — o． [收稿 日期]2016—06—22； [修改日期]2016—07—19 [基金项 目]聊城大学本科教学改革研究项 目(311161522)；国家 自然科学青年基金项 目 [作者简介]牛传择(1985一)，男，博士，讲师 ，从事基础数学研究．Email：niuchuanze@lcu．edu．Cn 106 大 学 数 学 第 32卷 故