2016年下半年利川职校数学复习教案：指数及指数函数.docVIP

指数及其指数函数 [教学目标] 1．通过具体实例了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，理解扩张指数范围的必要性． 3．通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 4．理解指数函数的概念和意义． 5．能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 6．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 一、根式 回顾初中学习的内容：平方根、立方根 4的平方根为，3的平方根为，16的平方根为，等等．一般地，如果，那么叫做的平方根． 对于立方根则由师生一起举出若干例子． 类比平方根、立方根，我们看下面的一些例子： ，那么2是32的5次方根，记作；，那么3是243的5次方根，记作；，那么2是16的4次方根，记作；，那么3是81的4次方根，记作；，那么(2是32的5次方根，记作；，那么(2也是16的4次方根，记作(． 根式的概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且． 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的次方根用符号表示． 当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成（）．例如负的次方根可以表示为． 负数没有偶次方根． 0的任何次方根都是0，记作． 式子叫做根式（radical），其中叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand）． （3）根式的性质 通过讨论探究得到： ． ． 例如，， ，， =3． 课堂练习 求值：（1）；（2）；（3）． 二、指数与指数幂的运算——分数指数幂 1．看下面的例子： 当时， （1），又，所以； （2），又，所以． 从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？ 为此，我们先回顾初中所学的指数概念． ，当时，，0的0次幂没有意义，． 讨论：的结果是什么？ 提示：注意分类讨论． 问：我们学习过整数指数幂哪些运算性质： 答：（1）； （2）； （3） 根据次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：（，）． 的正分数指数幂等于, 的负分数指数幂无意义. 由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式． 例如：，而． 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用． （1）； （2）； （3） 课堂例题 例1 （课本第51页例2） 求值：． 本例的目的是巩固分数指数幂的概念． 例2 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 解 (１) ； （2）； （3）； （4）． 3．本课小结 （1）分数指数幂的定义，注意底数的限制条件． （2）分数指数幂的运算性质，是整数指数幂的运算性质的推广． 三、指数函数及其性质（1） 1．指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中是自变量，函数的定义域是． 下面我们来研究指数函数图象与性质． 2．指数函数的图象 在同一坐标系中画出下列函数的图象（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）． （1） （2） （3） （4） （5） 操作过程：（1）先画的图象，再画的图象，再单独观察两个函数的图象特征，再比较两个图象的关系． （2）进行适当讨论之后，再画和的图象，并与前面观察所得结论进行比较． （3）画的图象． （4）通过观察以上函数的图象的特征，归纳出指数函数的性质． 3．指数函数的性质 一般地，指数函数的图象和性质如下表所示． 图 象 定义域 值域 性 质 （1）过定点，即时，． （2）在上是增函数 （2）在上是减函数 例2 （课本第56页例6）已知指数函数的图象经过点（3，(），求，，的值． 问：请你说出解决本例的步骤和过程．明确底数是确定指数函数的要素． 4、指数函数的应用 引导学生利用函数单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系． 课堂练习 1．比较下列各题中两个数的大小： （1）；（2）；（3）． 解 （１）考察指数函数，由于底数，所以指数函数在上是增函数． ∵， ∴． （2）考察指数函数，由于底数，所以指数函数在上是减函数． ∵， ∴． （3）由指数函数的性质知 ，， 即，∴． 2．（1）已知，试比较的大小； （2）已知，求实数的取值范围． 解 （１）考察指数函数，由于底数，所以指数函数在上是减