利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题.pdfVIP

· 3O · 中学教研 (数学) 利用压缩变换解 决竞赛与 自主招生 中的椭 圆问题 ●张晓东 (桐乡市高级中学 浙江桐乡 314500) 椭圆是到2个定点F，， 的距离之和等于定 因为DP∥AR，所以D户=AAR，即 值2口(2aI F：I)的点的轨迹，是到定点与定直 (P，YP)=A(一A，YR)， 线 (定点不在定直线上)的距离之比等于常数 e 所以 ( )=A(，)， (0e1)的点的轨迹，是到2个定点的斜率之积 为常数 (K0，≠一1)的点的轨迹． 即 ：A ， 而在压缩变换视角下，椭圆是压扁了的圆，利用 从而0P ／／AR，于是AQ，4YoP，A尺成等比数列 这个角度，有时可以快捷地解题并看到问题的本质． 铮 lAQl·IARI=2lOPI 定义压缩变换 ：平面 0～Y上的所有点横坐 I。+al· I I=2( IxPI) 标不变，纵坐标变为原来的 倍 (m0，n0，m≠ 甘 Ix0 al·I I=2IxPI ／／／．, IAQ 1．IARl=2IoPI． (1) )，得到平面xor． 设IoRI=d，由圆幂定理得 显然在压缩变换r下 ，平面 0～Y上的圆C： 2 IQR l·lAR l=d 一a ， ． 以+Y“=m。就压缩为平面 xOy上的椭 圆 + 又 d +a =IAR I= m ． ．2 IAQI·IA I+IQRI·IA I= = 1，于是我们可以利用圆的几何性质和压缩变 IAQ 1．1AJRI=d 一a． n 换的性质来研究椭圆，通常研究3类问题． 于是 IAQl·IARI=2a， 1 研究横坐标 (或纵坐标 )之间的关系 即式(1)成立． 在压缩变换 下，平面xOy上点 P与原来 评注 把椭圆还原成圆后，便可利用圆幂定理 0Y平面上对应点P的横坐标相同，即 = ． 例2如图3，已知A，是椭圆 +告=1 2 2 例 1 如图 1，已知椭圆 + ：1(口b (ab0)的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶 a D 点的2个点，且直线AP与QB，P 与AQ分别交于 0)，过椭圆左顶点A(一a，0)的直线Z与椭圆交于 M ，N． ． 点 Q，与y轴交于点 ，过原点与Z平行的直线与椭 (1)求证：MN上AB；‘ 圆交于点P．求证：AQ，DP，AR成等比数列． (2)若弦PQ过