利用递推数列巧解圆环涂色问题.pdfVIP

中学生数学 ·2014年 12月上 ·第 503期(高中) 寸 湖北省枣 阳市第二 中学 (441200) 龚兵 ～ 、 问题 如 图 1 在圆中，将 圆分 等份 得到 n个 区域 M ，M ， M。，…，M (≥2)．现取 忌(是≥2)种颜色对这 例 1 一个 同心圆 个区域涂色 ，要求每相 形花坛 (如图 2)分为两 邻的两个区域涂不同的 部分 ，中间小 圆部分种 图 1 两种颜色 ，试求涂色 的 植草 坪 和绿 色灌．木，周 方案有多少种? 围的圆环分为 (≥3) 解 设涂色方案总数为 n(≥2)，当 ===2 等份 ，种植红、黄、蓝三 色不 同的花 ，要求相邻 时 ，显然知：a一是(是一1)．现探求 {n}的递推公 的两部分种植不 同颜色 图2 式 ： 的花，求有多少种不同的种植方法? 依题意知：区域M 有 是种涂法 ，M 有是一 解析 此题相当于用 3种不同的颜色涂圆 1种涂法 ，……，M 有 忌一1种涂法，若 区域 环上 个区域 ，要求相邻 的区域不能涂 同一种 M 仍有是一1种涂法 ，根据分步计数原理知共 颜色．由上述结论易知：不 同的种植方法有 ： 有志(尼一1) 种涂法．而这些涂法中可分两类 ： a 一 (一 1)X (3— 1)-4 (3～ 1) 一 类是 区域 M 与M 同色 ，另一类 是区域 一 (～ 1)”×2+2． ． 与M 不同色 ，前者与要求不符 ，但可以认为区 宴一 例 2 (2003年 江 一 ■一 域 与M 合为一个 区域 ，此时可 以看作一 苏高考题)某城市在 中 共 一1个区域 ，涂法种数有 a一种 ，故得 到递 心广场建造一个花 圃， 推公式为：口4-a 一是(是一1)一 ，以下求数列 一 花 圃分为 6个部分 ，如 {a}的通项公式 a ： 图 3，现要栽种 4种不同 图 3 令 bn-- ，则上式变形得 颜色的花 ，每部分栽种一