高等数学第七版212直角坐标系下二重积分的计算介绍.ppt

数学分析 第二十一章 重积分 高等教育出版社 数学分析 第二十一章 重积分 高等教育出版社 数学分析 第二十一章 重积分 高等教育出版社 复习思考题 一、在矩形区域上二重积 分的计算 二、在 x 型或 y 型区域上 二重积分的计算 三、在一般区域上二重积 分的计算 二重积分计算的要点是把它化为定积分. 这里有多种方法, 其中最常用的是在直角坐标系下化为累次积分. §2直角坐标系下二重 积分的计算 数学分析 第二十一章 重积分 *点击以上标题可直接前往对应内容 定理21.8 在矩形区域 上可积, 且对每个 积分 存在, 则累次积分 也存在, §2直角坐标系下二重 积分的计算 在矩形区域上二重积分的计算 在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算 在一般区域上二重积分 的计算 在矩形区域上二重积分的计算 且 证 令 定理要求证明 在 上可积, 且积分的结果恰为二重积分. 为此, 对区间 与 分别作分割 按这些分点作两组直线 §2直角坐标系下二重 积分的计算 在矩形区域上二重积分的计算 在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算 在一般区域上二重积分 的计算 把矩形 D 分为 rs 个小矩形(图21-4). 设 在 上的上确界和下确界分别为 和 在区间 中任取一点 于是就有不等式 其中 因此 §2直角坐标系下二重 积分的计算 在矩形区域上二重积分的计算 在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算 在一般区域上二重积分 的计算 为小矩形 记 其中 记 的对角线长度为 于是 由于二重积分存在, 由定理21.4, 当 时, 和 有相同的极限, 值等于 因此当 时, 由不等式(2) §2直角坐标系下二重 积分的计算 在矩形区域上二重积分的计算 在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算 在一般区域上二重积分 的计算 可得: (3) 使 且极限 由于当 时, 必有 分定义, (3)式左边 因此由定积 定理21.9 也存在, 且 §2直角坐标系下二重 积分的计算 在矩形区域上二重积分的计算 在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算 在一般区域上二重积分 的计算 在矩形区域 上可积, 且对每个 积分 存在, 则累次积分 定理21. 9的证明与定理21. 8相仿. 例1 计算 其中 解 应用定理21. 8 (或定理21. 9), 有 §2直角坐标系下二重 积分的计算 在矩形区域上二重积分的计算 在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算 在一般区域上二重积分 的计算 特别当 在矩形区域 上连续 时, 则有 对于一般区域, 通常可以分解为如下两类区域来进 行计算. 称平面点集 为x型区域(图21-5(a)); 为y型区域(图21-5(b)). §2直角坐标系下二重 积分的计算 在矩形区域上二重积分的计算 在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算 在一般区域上二重积分 的计算 在 x 型或 y 型区域上二重积分的计算 称平面点集 当 D 为 x 型区域时, 垂直于 x 轴 的直线 至多与区域 D 的边界交于 §2直角坐标系下二重 积分的计算 在矩形区域上二重积分的计算 在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算 在一般区域上二重积分 的计算 两点; 多与 D 的边界交于两点. 这些区域的特点是: 至 当 D 为 y 型区域时, 直线 定理21.10 若 在如 (4) 式所示的 x 型区域 D 上连续, 其中 在 上连续, 即二重积分可化为先对 y、后对 x 的累次积分. 证 由于 与 在闭区间 上连续, 故存 在矩形区域 (如图21-5(a)). §2直角坐标系下二重 积分的计算 在矩形区域上二重积分