高等数学函数的连续性介绍.pptVIP

第一章 函数 极限 连续 §8 函数的连续性 * * 一、函数的连续性 函数的连续性定义1 f(x0) f(x0+Dx) Dx Dy x0+Dx y=f(x) x0 x y O 函数的连续性定义2（ε-δ定义） 注 函数在点x0连续的三个条件： 函数的连续性定义3 注 三个定义是等价的 左连续与右连续 结论 函数 y=f(x) 在点 x0 处连续 ? 函数 y=f(x) 在点 x0 处左连续且右连续? 函数的连续性定义 注: 连续函数 在区间上每一点都连续的函数? 叫做在该区间上的连续函数? 或者说函数在该区间上连续? 连续函数举例 1? 多项式函数P(x)在区间(-?? +?)内是连续的? 这是因为，函数P(x)在(-?? +?)内任意一点x0处有定义，并且 如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指 左连续? 在左端点连续是指右连续? 2? 函数y=sin x在区间(-?? +?)内是连续的? 这是因为，函数y=sin x在(-?? +?)内任意一点x处有定义，并且 连续函数举例 1? 多项式函数P(x)在区间(-?? +?)内是连续的? 二、函数的间断点 间断点的定义 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义? 如果函数f(x)在点x0不连续? 则点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点? 分析: 所以点x=0是该函数的间断点? 如果补充定义：令x=0时y=1? 则所给函数在x=0成为连续? x=0称为该函数的可去间断点? 间断点举例 例1 因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象? 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点? 例2 间断点举例 间断点举例 例3 铅直渐近线 无穷间断点. 故称 为函数 的 例4 当x?0时? 函数值在 -1与+1 之间变动无限多次? 所以点x=0是函数的间断点? 所以点x=0称为函数的振荡间断点? 间断点举例