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第 Z6卷 第 2期 昭通师范高等专科学校学报 2004年 4月 VO1．26NO．2 JournalofZhaotongTeacher’sCollege Apr．2004 矩阵初等变换的若干应用 谢 芳 (昆明师范高等专科学校 数学系， 云南 昆明 650031) [摘 要] 应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空问中若干问题和求两个多项式的最大公因 式．这些内容丰富和扩展了相关知识． [关键词] 矩阵初等变换； 矩阵； 矩阵的初等变换 [中图分类号]O151．2l [文献标识码]A [文章编号]1008—9322(2004)02—005l—O5 SomeApplicationsofElementaryTransformationofM atrix XIE Fang (DepartmentofMaths．KunmingFeacher’SCollege．Kunming650031．China) Abstract：ThepurposeofthispaperistOusepropertiesofelementarytransformationofmatrixtOsolvesome problemsoffinitedimensionalvectorspaceandtO getthegreatestcommonfactoroftWOpolynomials．These contentsenrichandextendcorrespondingknowledge． Keywords：elementarytransformationofmatrix； matrix；elementarytransformationof matrix 矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是高等代数的一个基本概念，也是研究矩阵的一个非常重要 的工具．利用初等变换将矩阵A化为形状简单的矩阵B，通过B来探讨A 的某些性质，是研究矩阵的常 用方法． 矩阵的行 (列)初等变换是指对矩阵施行下列变换 ：(1)交换矩阵的两行 (列)；(2)用一个不等于零 的常数乘矩阵的某一行 (列)；(3)将矩阵的某一行 (列)乘以一个常数 ，加到另一行 (列)的对应元素上． 矩阵初等变换有着广泛的应用，是基于初等变换有一些好的性质： 性质 1t1] 。’ 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩． 性质 2cI] ¨ 矩阵的初等变换不改变方阵的可逆性． 性质 32【] 设A ∈M (F)，对A施行行初等变换不改变A 的列向量的线性关系．即：假设对A施 行初等变换得到B，且A，B的列向量分别为 口 ，口。，…，口和 。， ，…， ，则 ： (1) 数 k。，k2，…，k ∈F，k。口。+k2口2+…+k．a = 0当且仅当 k。 +kzJ，2+ …+ ，。 = 0； (2) 口。，口 ．．，口线性相关当且仅当p。， ，…，．线性相关． 类似地，对A施行列初等变换不改变A 的行向量的线性关系． 利用性质 1，可 以求矩阵的秩，判别一个非齐次线性方程组是否有解，若有解还可求其解；可判别一 个齐次线性方程组是否有非零解及求解 ．利用性质 2，可以判断一个方阵是否可逆 ，若可逆还可求出其 收稿 日期 ：2003—10—14 作者简介：谢芳(1965一 )．女．云南缨江入，副教授，学士，主要从事非线性分析研 究． · 5l · 第 26卷 昭通师范高等专科学校学报 2004年(总第 93期) 逆矩阵．这些应用在高等代数或线性代数教材 中都有讨论 ，本文主要讨论性质 3的应用． 定义 l 一个矩阵叫做行简化阶梯形矩阵，是指各个非零行 的首非零元都是 l，且这个首非零元所 在列的其余元素都是零的阶