解线性方程组的迭代法_计算方法大作业.docxVIP

解线性方程组的迭代法1.1 方法概述对于线性方程组Ax=b，其中A为非奇异矩阵，当A为大型稀疏矩阵时，考虑用迭代法求解上述方程组，其基本思想是求不动点,即构造一个向量系列，使其收敛至某个极限，则就是要求的方程组的准确解。这儿主要介绍Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的算法理论及数值实验。1）Jacobi迭代法算法概述Jacobi迭代法推导过程为将方程组：在假设下，改写成如果引用系数矩阵, 及向量 ，，，方程组（1）和（2）分别可写为：及，这样得到了迭代格式用迭代解方程组时，就可任意取初值带入迭代可知式，然后求。但是，比较大的时候，写方程组和是很麻烦的，如果直接由，能直接得到，就是矩阵与向量的运算了，那么如何得到，呢实际上，如果引进非奇异对角矩阵将分解成：要求的解，实质上就有而奇异的，所以存在，从而有我们在这里不妨令就得到迭代格式： 。用向量的分量来表示为：其中为初始向量.由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需要两组存储单元,以存放及.2）Gauss-Seidel迭代法算法概述由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i个分量时,已经计算出的必威体育精装版分量没有被利用，从直观上看,必威体育精装版计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些必威体育精装版计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德（Gauss-Seidel）迭代法。把矩阵A分解成 其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成即 其中 以为迭代矩阵构成的迭代法(公式)称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用 量表示的形式为由此看出,高斯—塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元(计算出后不再使用,所以用冲掉,以便存放近似解.1.2算法程序1）Jacobi迭代法现在考虑Jacobi迭代法的计算程序，按照算法(Jacobi迭代法)编写Matlab程序(Jacobi.m)如下：function [x, k, index]=Jacobi(A, b, ep, it_max)%求解线性方程组的Jacobi迭代法，其中% A ---方程组的系数矩阵% b ---方程组的右端项% ep ---精度要求。省缺为1e-5% it_max ---最大迭代次数，省缺为100% x ---方程组的解% k ---迭代次数% index --- index=1表示迭代收敛到指定要求；% index=0表示迭代失败if nargin 4 it_max=100; endif nargin 3 ep=1e-5; endn=length(A); k=0;x=zeros(n,1); y=zeros(n,1); index=1;while 1 for i=1:n y(i)=b(i); for j=1:n if j~=i y(i)=y(i)-A(i,j)*x(j); end end if abs(A(i,i))1e-10 | k==it_max index=0; return; end y(i)=y(i)/A(i,i); end if norm(y-x,inf)ep break; end x=y; k=k+1;end2) Gauss-Seidel迭代法按Gauss-Serdel迭代法编写的MATLAB函数文件gauseidel.m如下：function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps)if nargin==3 eps=1.0e-6;elseif nargin3 errorreturnend D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵U=-triu(A,1); %求A的上三角阵G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;y=G*x0+f;n=1; %迭代次数while norm(y-x0)=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1;end1.3算法实现1）用迭代法求解方程组：输入：A=[10 -2-1;-2 10 -1;-1 -2 5]；b=[3;15;10]；[x, k, index]=Jacobi(A, b,