弹性和塑形力学-弹性部分-第八章.pptVIP

a/b ? ? a/b ? ? 1.0 0.141 0.208 3.0 0.263 0.267 1.2 0.166 0.219 4.0 0.281 0.282 1.5 0.196 0.230 5.0 0.291 0.291 2.0 0.229 0.246 10.0 0.312 0.312 2.5 0.249 0.258 很大 0.333 0.333 8-9 柱形杆的弯曲 假设横截面具有任意形状，将固定端面的形心作为坐标原点，杆的中心轴线作为z轴，x和y轴与截面的主轴重合。设剪力F和x轴平行，其作用线的位置应根据杆没有扭转而只有弯曲的条件来决定。 只是x和y的函数，与z无关 边界条件第一式是满足的。 8-10 椭圆截面杆的弯曲 * 在形如8-4’的边界条件下求解调和方程，在数学上属于诺依曼边值问题，求解比较复杂，因此应力解法是解决扭转问题的一种较好的方法。 * 如果函数?(x,y)在单连通区域R的周界s上不为零，总可以另外设函数?1(x,y)=?(x,y)-k。显然?1 (x,y)在周界上s等于零，而?1和?只差一个常数，有这两个函数求得的应力分量是一样。因此，k=0的假定对应力无影响。 * 要使杆不产生扭转，剪力F必须通过横截面上一个特殊的点，这个点称为弯曲中心。 * 假想将杆分割成无数根纵向微条，则?r/?z代表任意一根纵向微条单位长度的轴向转角。按照(d)式，它由两部分组成：其中y的一次项表示不同y坐标的纵向微条将 产生不同的单位长度的扭转角，因此，这部分将引起横截面的畸变；其中常数项表示对于杆中所有的纵向微条，将产生相同的单位长度的轴向转角，因此，这部分将代表杆的扭转变形，实际上?就是单位长度的扭转角。但是根据题设条件，这里不产生扭转，故?=0，因此k=0 * 弹性和塑形力学 第八章 柱形杆的扭转和弯曲 柱形杆的扭转和弯曲问题精确求解十分困难 实际问题中，柱形杆两端面上外力分布情况并不清楚，只知其静力效应； 即使知道精确分布，也很难获得一组解精确地满足端面边界条件 需要通过局部性原理对端面处条件进行放松，使问题得到解决。 8-1 扭转问题的位移解法 ?圣维南扭转函数 一任意横截面形状的柱形杆，不计体力，两端面受大小相等，方向相反的扭矩M作用。 拉普拉斯方程，如果要使(8-1)给出的位移场满足平衡方程，扭转函数?(x,y)必须是调和函数。 在假定位移表达式(8-1)下，横截面内只作用有切应力?zy和?zx ，而且它们与坐标z无关，即它们在所有横截面上相等。 柱形杆的位移解法，归结为在边界条件下求解调和方程(8-2)，求得扭转函数?，然后由(8-1)和(8-3b)求得位移分量和应力分量，扭转角?由(8-5)确定。 8-2扭转问题的应力解法 ?普朗特应力函数 表示函数?(x,y)在柱形杆横截面所组成的区域R内所满足的方程。?(x,y)称为普朗特（Prandtl，L.）应力函数。 8-3 扭转问题的薄膜比拟法 设有一块均匀的薄膜，张在一个与受扭杆横截面形状相似的水平边界上。当薄膜承受微小的均匀压力q作用时，薄膜上各点将产生微小的垂度。将边界所在的平面作为Oxy平面，z轴垂直向下。 由于薄膜的柔顺性，可以假定它不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，而只承受均匀的张力。设其内每单位宽度上的张力为FT。薄膜的垂度为Z。 与Oxy平面平行的平面与薄膜曲面相截，得到薄膜的等高线 8-4 椭圆截面杆的扭转 双曲抛物面 8-5 带半圆形槽的圆轴的扭转 8-6 厚壁圆筒的扭转 复连通域 8-7 矩形截面杆的扭转 * 在形如8-4’的边界条件下求解调和方程，在数学上属于诺依曼边值问题，求解比较复杂，因此应力解法是解决扭转问题的一种较好的方法。 * 如果函数?(x,y)在单连通区域R的周界s上不为零，总可以另外设函数?1(x,y)=?(x,y)-k。显然?1 (x,y)在周界上s等于零，而?1和?只差一个常数，有这两个函数求得的应力分量是一样。因此，k=0的假定对应力无影响。 * 要使杆不产生扭转，剪力F必须通过横截面上一个特殊的点，这个点称为弯曲中心。 * 假想将杆分割成无数根纵向微条，则?r/?z代表任意一根纵向微条单位长度的轴向转角。按照(d)式，它由两部分组成：其中y的一次项表示不同y坐标的纵向微条将 产生不同的单位长度的扭转角，因此，这部分将引起横截面的畸变；其中常数项表示对于杆中所有的纵向微条，将产生相同的单位长度的轴向转角，因此，这部分将代表杆的扭转变形，实际上?就是单位长度的扭转角。但是根据题设条件，这里不产生扭转，故?=0，因此k=0 *