第3章多维随机变量20130331.docVIP

第3章的教学要求： 1.了解多维随机变量的概念. 2.了解二维离散型随机变量的分布律的概念，理解二维连续型随机变量的概率密度的概念. 3.理解二维随机变量的边缘分布与条件分布. 4.了解二维随机变量的分布函数. 5.理解随机变量的相互独立概念. 6.会求两个相互独立的随机变量简单函数(和、极大、极小)的分布. 第3章 二维随机变量及其分布 随机试验的结果其实可以因多种目的做多种数量化，并因而产生多维随机变量.本章研究多维随机变量，不仅要研究其中每一个随机分量的性质，而且还要研究随机变量之间的相关性质. §3.1 多维随机变量的概念 在实际问题中，试验结果有时需要同时用两个或更多个随机变量描述.例如，某产品如果有若干指标，那么由这些指标所对应的随机变量就构成了描述该产品的多维随机变量；又如演习中弹着点的位置可由二维或三维随机变量表示.这种用于描述同一个试验结果的多个随机变量称为多维随机变量. 描述多维随机变量取值规律的方式仍有概率函数、概率分布表和概率分布图等，通常根据随机变量的维数与类型选择使用. 本章主要介绍二随机变量，至于更多维情形可仿二维情形推得. §3.2 二维离散型随机变量及其分布 如果的全部可能取值为可列对，就是二维离散型随机变量. 本节讨论二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律、条件分布律. 3.2.1 二维离散型随机变量的联合分布律 二维离散型随机变量的概率分布又叫的分布律或随机变量与的联合分布律.其概率函数的一般形式为 . (3.1) 这里表示事件“”与事件“”的积事件. 概率分布表有“条形”表和“矩阵”表两种.条形概率分布表的一般形式为 矩阵概率分布表的一般形式为 规定：，如果不是的可能取值. 注意：在矩形概率分布表中，当某些点对不是的取值时，为与概率确实为0的取值点对区分，有时在非取值点对的概率位置不填0而是打上标记“-”. 概率分布图是三维散点图. 图3.1 二维离散型随机变量的概率分布示意图 联合分布律(3.1)有如下性质： (1)； (2). 根据联合分布律，可以计算任意事件的概率： (1)取单点值的概率为 ，如果； ，如果. (2)的取值在区域内的概率为 . (3.2) 这里表示对落在区域内的取值的项求和. 例3.1(P76) 已知二维随机变量只取四对值：和，且取它们的概率依次为和，则的分布律 (1)用概率函数可表示为 (2)用条形概率分布表可表示为 (3)用矩形概率分布表可表示为 或 例3.2(P77) 3.2.2 边缘分布律与条件分布律 1.边缘分布律 二维离散型随机变量的分量的和是一维离散型随机变量，的和的分布律称为关于的和关于的边缘分布律，常用概率函数和概率分布表表示. 由的分布律(3.1)式知，的可能取值是，且 ， ， . 所以 (3.3) 是关于的边缘分布律. 同理，关于的边缘分布律为 . (3.4) (3.3)式和(3.4)式所对应的边缘概率分布表分别为 与 显然，联合分布律决定唯一的边缘分布律. 我们可以在联合概率分布矩形表的右端加一列，在下端加一行，把两个边缘概率分布的概率值分别填入其中，得到带有边缘概率分布的综合概率分布表： 1 例3.3(P79) 注意到，本题两种情形下的联合分布律不同，但边缘分布律相同，说明边缘分布律一般不能决定联合分布律. 2.条件分布律 在第一章我们曾讨论过条件概率，它表示在事件发生的条件下事件发生的概率．将此概念运用到二维随机变量的研究中，便产生了随机变量的条件概率分布． 二维离散型随机变量中的一个随机变量受另外一个随机变量的影响，其取值的概率分布规律称为条件分布律． 如果，考虑条件概率 . (3.5) 由于且，因而(3.5)式描述了在事件发生的条件下随机变量取值的概率分布规律，故称为在条件下的条件分布律. 同理，如果，则 (3.6) 称为在条件下的条件分布律. (3.5)式和(3.6)式所对应的条件概率分布表为 与 我们在前面的综合概率分布表的右端与下端再分别加上一列与一行，把两个条件概率分布的概率值填入其中，便得到带有条件概率分布的大综合概率分布表： 1 1 例3.4(P80) 作业(P82)： 1.-2. 4. 7.-11. §3.3 二维连续型随机变量及其分布 以下讨论二维连续型随机变量的密度函数、边缘密度函数、条件密度函数与常见分布. 3.3.1 二维连续型随机变量的联合密度函数 如果存在实非负可积函数，使得对任意