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中 等 数 学 第 55届 IMO 预 选 题 (二) 中图分类号：G424．79 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2015)10—0020—06 数．对于每个实数 ，恰有一张牌上写着实数 组 合 部 分 ． 两名选手从这些牌 中每人选出互不相交的 1．已知矩形R内有 tI个点，任意两点的 由100张牌构成的集合A、B．制定一个满足 连线均不与矩形 R的边平行 ，矩形 尺被分割 下列条件的规则，以确定这两名选手 中的哪 为一些边与矩形尺的边平行的小矩形，使得 个人获胜． 已知点不在任意一个小矩形的内部．证明：矩 (1)获胜者只依赖于这200张牌的相对 形 尺至少被分割为 n+1个小矩形． 次序：若这200张面朝下被放成递增的次序， 2．有 2 张卡片，每张卡片上写的数均为 且观众被告知哪张牌属于哪名选手，但不知 1．进行下列操作：每一次操作选择两张不同 道哪张牌上写的是什么数，观众仍然能决定 的卡片，若这两张卡片上的数分别为a、b，则 谁会获胜 ； 擦掉这两个数，并均写上数 a+b．证明：经过 (2)若两个集合中的元素按递增的次序 2一 m次操作后，所有卡片上的数之和至少 分别写为 为4． A={a1，a2，…，al0o}，B={b1，b2，…，bl∞}， 3．本届 IMO第 2题． 其中，对所有的i∈{1，2，…，100}，有ab， 4．由两块 2×1的多米诺沿着较长的边 则A击败B； 粘成一个 “四格米诺”，使得一个多米诺较长 (3)若三名选手从这些牌中每人选出互 的边的中点为另一个多米诺的顶点，按照转 不相交的由100张牌构成的集合4、B、c，且 向产生两种 四格米诺，分别称其为 S一四格 击败 ，曰击败C，则 击败C． 米诺 、z一 四格米诺 (如图1)． 问：有多少种这样的规则? 【注】两种不同的规则是指若存在两个 集合 、B，使得在一个规则中A击败B，而在 电 另一个规则 中，击败A． 7．设平面上 n(14)个点的集合 满 s一四格米诺 z一四格米诺 足任意三点不共线．开始时，这些点被 条线 图 1 段相连，使得集合 中的每个点恰为两条线 若一个格点多边形P可以被 S一四格米 段的端点．每一次操作选择两条有公共 内点 诺覆盖 (无重叠)，证明：无论怎样用 S一 四格 的线段AB、CD，此时，若AC与BD均没有f“ 米诺、z一四格米诺覆盖(无重叠)多边形P， 现，则用AC、BD依次代替AB、CD．证明：操作 z一四格米诺的个数总为偶数．