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2008年第47卷第5期 数学通报 数e来龙去脉 李 忠 (北京大学数学科学学院100871) 在中学里如何给学生讲述自然对数的底e， 利用对数表或计算尺来计算大数的乘积和 是一大难题．我国中学教材处理这个问题的办法 商，其基本原理是通过对数函数把两个数乘除运 历来是，不讲它的意义和定义，只告诉学生数P是 算化成了加减运算．当时人们关于对数的思考，与 一个无理数，P一2．71828……．这使得数e变得很现代的想法不同．现代的做法是，先给定某个数 神秘．至于数P和自然对数有何用处，学生们则更 n，把它作为底，然后根据方程z=Cl，，将X的对数 是茫然． 定义为Y．但那时人们考虑对数的办法并不是这 当然，讲清常数e的意义，要比讲清圆周率丌 样，而是直接从一个对数函数出发．若一个函数 的意义困难得多．圆周率丌有明显易懂的几何意 厂(z)在(0，+o。)上连续并严格单调，且对于任 义：圆的周长与其直径之比；而数P就似乎缺乏这 样简单明了的解释与模型． 则称之为对数函数．对数函数不只一个，人们可 从历史上来看，数e的出现要比丌晚得很多． 以用不同的方式构造这种函数．一旦有了这样的 人们知道圆周率至少是在公元前200多年前的 函数(或相应的算法)就可以利用它编制对数表． ’ 事，而数e的出现则在17世纪． 本文将简要介绍发现数e的历史，除了讲述 察了双曲线y一1／x的下方的某种曲边梯形的面 Euler的贡献之外，还要重点解释Bernoulli关于积，并发现这种面积与对数函数有关．他的发现实 数P模型以及Huygens关于自然对数的几何模际上给出了自然对数的一个几何模型．后面我们 型．最后讲讲数P在分析学中的意义． 还要详细介绍他的结论． 1数P的由来 令人意外的是，不曾研究对数的数学家Jacob 历史上数e的出现与关于对数的研究紧密 相关． 的定义．他在1683年研究复利时，证明了当n趋 17世纪初，苏格兰数学家John 于无穷时，数列{(1+l／n)”)有极限，并且证明了 Napier等人 发明了对数．基于对数的理论，人们编制了对数 这个极限介于2与3之间．这个极限值就是后来 Bernoulli当时并 表，制成了计算尺，使之成为数值计算的有效工 人们称之为P的数．当然，Jacob 没有认识到这个极限与对数的关系，也没有把两 具．当时除了Napier对数之外，还有一种自然对 数．在1618年出版的Napier的著作中，就附录了者联系在一起． 一个自然对数的对数表．尽管没有标明注明这张 数e作为一个数学常数第一次被正式提出， 表的编制者，但后来人们几乎完全可以肯定它的 编制者是WilliamOughtred． 斯)在写给Huygens的信中，提出了这个常数．但 自然对数的出现是历史上第一件与数e有关 他把它记为b，而不是e． 的事．但是，当时人们并不知道自然对数的底—— 把这个常数记作P、并对它作了全面深入研 常数已这似乎让人感到有点奇怪：为什么当时有 了自然对数的表，却不知道它的底呢?我们需要 研究它，并记之为P．他得到了众多的发现．在 作一点必要的解释．