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混水平的均匀设计的构造 覃红 熊明 (华中师范大学统计系 武汉) 摘要:我们用离散偏差来度量部分因子设计的均匀性，本文的目的在于寻找一些 构造均匀设计的方法，这些方法比文献中己有的方法更简单且成本更低。我们得 到了离散偏差的一个下界，一个U一型设计的离散偏差值达到下这个下界，那么 该设计是一个均匀设计。我们建立了均匀设计与组合设计理论中均匀可分解设计 之间的联系。通过均匀可分解设计，提出了一些新的构造均匀设计的方法。同时 也给出了许多均匀设计存在的无穷类。 关键词:离散偏差 均匀设计 成对平衡设计 均匀可分解设计 1.引言 均匀设计是要求试验点均匀分布在试验区域的设计。在近十年里，均匀设计 的构造引起了人们极大的兴趣。而均匀性度量标准在均匀设计的构造中起着相当 重要的作用，伪蒙特卡洛方法中的各种偏差己经作为了均匀性的度量。Fangand Wang(1994)以及Fang(2000)给出了这些度量的综合性评述。均匀设计就是那 些具有最小偏差的设计。在低偏差下，即使试验点的数目和维数是适当的小，去 寻找一个试验点均匀分布在试验区域的集合也是一个NP问题。为了减少计算机 有哪些信誉好的足球投注网站的成本，所有存在的均匀设计都是在U一型设计的基础上构造的，即每个因 子水平是相等的情形(Fangeta!.,2000)oFangandWang(1994)考虑了U一型设 计的一个子集，即好格子点集，他们用星偏差，即拟合最优检验中的 Kolmogorov-Smimov统计量，作为均匀性的度量。一般来说，计算一个U一型 设计的星偏差也是一个NP问题。Fang,MaandWinker(2002)讨论了怎样利用 中心L:一偏差去寻找均匀设计。算法在这一方法中起到相当重要的作用。当试 验次数或因子数太大时要找到一个所有候选U一型设计是不可能的，因为这些设 计太多或太大了。U一型设计的复杂性是在低偏差下构造均匀设计的主要困难。 这就需要新的均匀性度量标准使得我们不用在全部候选表中寻找均匀设计。 最近，HickernellandLiu(2002)提出了一个所谓的离散偏差，用它作为均匀 性的度量可以大大降低了计算量。有关离散偏差的统计合理性有许多文章讨论。 HickernellandLiu(2002)指出离散偏差下的均匀设计能限制混杂。Liuand Hickernell(2002)利用离散偏差来评估超饱和试验设计，并指出对于2水平的超 饱和试验设计，离散偏差与E(SZ)标准是一样的。Liu(2002)利用离散偏差来评 估等水平的部分因子设计，发现正交性与均匀性之间有很好的联系.QinandFang (2003、给出了以离散偏差为度量的均匀性、广义最小混杂、最小矩混杂、以及 以中心L:一偏差、可卷型乙:一偏差为度量的均匀性之间的关系，这些联系为利 用离散偏差作为因子设计均匀性度量标准提供了理论上的合理性。Fang,Geand Liu(2002)用离散偏差作为等水平超饱和设计均匀性的度量，并且在可分解的平 衡不完全区组设计的基础上提出了一个均匀超饱和设计的构造方法。在离散偏差 下，系统而有效的构造混水平均匀设计的方法在文献中不太能找到。本文中我们 将给出一些有效的方法。 令U(n;91,...，q.)代表一个n次试验，m个因子的U一型设计，相应有一个 nxm矩阵使得其第.1列的元素从q，个元素的集合{1，...，qj}中取值，通常它们 是相等的。所有这样的设计构成的集合用}(n;gt,...,qm)来表示。对于一个给定 的设计X二((x;;)e,u(n;9l,,9p，让Wk!表示X中第k行与第1行相同元素的数 目，也就是W丫kkll-“G,(}m1=11(xa=xul。显然W,O=m。值得注意的是，在编码理论中，m-Wkr 就是X中第k行与第.1行的Hamming距离。定义W二(G}+mi=1可。，)/(，一1)，，=W[i, d,=(n一1)(Y+1一W)，和dy+t=(n一1)(W一Y)，这里x[]表示x的整数部分。于是 我们得到X的离散偏差值D(x;a,b)有如下的下界: 定理1对任意设计矩阵XEA(n;91,,9m)，有 2b DZ(X;a,b)=-II +生+; E艺 (1)