《数理统计》双因素方差分析.pdf

2双因子方差分析 2.1双因子试验 当试验条件中涉及到两个因子时，就称为双因子试验。设A 为一个因子，有I 个水平：A i , i 1, L,I ；B 为另一个因子，有J 个水平：B j , j 1,L,J 。在设计试 验方案时，一个重要问题是如何将两个因子的水平搭配起来。首先，可以考虑每个 因子 （A 或B ）的不同水平对试验结果分别会有影响。其次，两个因子不同的水平 组合会有特殊的影响 （并不是两个因子水平分别影响的简单叠加）。在这种情况 下，为对各种可能的结果作全面考察，应该对两个因子所有可能的水平组合作试 验。这样的试验就是双因子交叉分组试验。交叉分组试验是最常见的一种双因子试 验。 将A 因子的任一水平A i 与B 因子的任一水平B j 搭配，则总共有I J 种组 合： (A i ,B j ), i 1, L,I ; j 1,L,J . 在所有这I J 种组合上至少各作一次试验。例如，假定要在一些试验小区内试验三 个小麦品种 （分别记为A1 、A2 和A3 ）和两种肥料 （分别记为B1 、B2 ），在同一 个小区上只种一个品种，同时只施一种肥料。这样， “品种”和“肥料”就构成两 个因子，前者有三个水平，后者有两个水平。这两个因子的所有可能的水平组合共 有3 2 6 种：(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2) 。如果在每 种水平组合上作相同次数的试验 （run），则整个试验方案称为是“均衡的”。与 单因子试验的情况不同，在双因子交叉分组试验中，若试验方案不均衡，则方差分 析会变得比较困难，我们在以后的章节中再来讨论这个问题。对于均衡的试验，为 保证能分析随机误差，在每个水平组合上应作多于一次的试验，称为 “有重复” 的。如果在每个水平组合上只作一次的试验，则称为 “无重复”的。对于无重复的 交叉分组试验，只有在模型简化之后，才能留有 “自由度”来分析误差。 另一种双因子试验的水平组合方式是 “嵌套分组”，有时也会遇到。假定因子 A 和因子B 如上所述，且I J ，可以将因子B 的水平 “嵌套”到因子A 的水平中 去：将因子B 的J 个水平分成I 组，因子A 的每个水平只和因子B 的一组水平搭 配。例如，假定有三种类型的机器，每类4 台。要通过试验来比较不同类型机器的 性能的优劣，安排12 个工人，每人在试验中操作一台机器。这里机器的类型是一 个 （主要的）因子，有三个水平。假定工人的技术水平（或熟练程度）有差别，则 工人是另一个 （次要的）因子，有12 个水平 （工人）。这12 个水平分成3 组，每 组4 个水平。机器的每个水平只和工人中的一组进行搭配。这是一个 “嵌套分组” 的水平组合模式。嵌套分组的试验在实际中较为少见。 2.2 双因子均衡有重复试验的方差分析 设A 为一个因子，有I 个水平：A i , i 1, L,I ；B 为另一个因子，有J 个水 平：B j , j 1,L,J 。将A 因子的任一水平A i 与B 因子的任一水平B j 搭配，则总 共有I J 种组合： (A i ,B j ), i 1, L,I ; j 1,L,J . 在所有这I J 种组合上各作K 次试验，当K 1 时，就是均衡有重复试验。设在水平 组合(A i ,B j )下所得到的响应变量观测值记为 y ijk ，k 1,L,K,i 1,L,I,j 1,L,J 这些观测数据可以列入表2.2.1 中。 表2.2.1双因子交叉分组试验数据表 A B 1 … j … J 1 y111,y112,…,y11K … y1j1,y1j2,…,y1jK … y1J1,y1J2,…,y1JK … … … … … … i y ,y ,…,y … y ,y ,…,y