99 ising(伊辛)模型的平均场理论.pdfVIP

9.9 Ising(伊辛)模型的 平均场理论平均场理论 本节讨论相变问题。 统计物理学通过对配分函数求导数可以求得系统的热力统计物理学通过对配分函数求导数可以求得系统的热力 学函数，从而确定系统的全部平衡性质，但是在相变点某些 热力学量会发生突变或者出现无穷尖峰，那么从单一的配分 函数表达式能否同时描述各相和相的转变呢？这是从20世纪 30年代中叶开始发生争论的问题。 回答这个问题的回答这个问题的一个方法是个方法是，建立包含系统最本质特征建立包含系统最本质特征 的简化模型，严格的导出在其相变点的宏观特性。这个领域 经过半个多世纪的研究经过半个多世纪的研究，，已经形成统计物理学已经形成统计物理学一个专门的研个专门的研 究方向：相变和临界现象 （参考于禄、郝柏林著“相变和临 界现象”）。 本节考虑最简单的模型-Ising模型，这个模型可以近似描 述单轴各向异性铁磁体的铁磁-顺磁相变，稍微改变还可以描 述述气体气体-液体相变液体相变，合金的有序无序相变合金的有序无序相变等等。 Ising模型简介 考虑N 个磁性原子定域在晶体的格点上，假设原子的总 角动量量子数为角动量量子数为1/21/2,原子磁矩大小为原子磁矩大小为 ee 22mm 。 1929年，Heisenberg提出，铁磁性起源于电子的交换作 用用 （铁铁磁体体：ferromaggnetism ），交换作用交换作用是一个个量子力学效应子力学效应， 是库仑排斥作用和泡利不相容原理的共同结果，这样，两个 近邻原子的相互作用能量和电子的自旋状态有关，这就是 Heisengerg模型模型。 对于单轴各向异性铁磁体，原子的自旋平行（σ=1）或 者反平行者反平行 （（σσ== -11））于于一个晶轴个晶轴，我们用我们用zz 轴表示这个晶轴的轴表示这个晶轴的 方向，这样，铁磁体原子的相互作用能量为： J   , ((Isiing Moddell的的相相互互作作用用能能量量形形式式)) i j ij 表表示示只只对对近近邻邻原原子子对对求求和和，因因为为交交换换作作用用之之存存在在于于近近邻邻原原子子。 ij 如果如果J 0,, 则当所有自旋具有相同取向时系统具有最低的则当所有自旋具有相同取向时系统具有最低的 能量，对应于绝对零度下的状态；在足够低的温度下，也会 有较多的自旋具有相同的取向，这就是无外磁场时铁磁体具 有自发磁化的原因有自发磁化的原因。 最重要的是，虽然交换作用是短程力，只存在近邻自旋之 间间，但是系统中可以出现但是系统中可以出现长程有序长程有序。 如果沿着z方向的外磁场B，磁矩因为其取向不同可以具有 B 或者+ B 的势能，记为 B，系统的能量取决于N 个自旋 的取向：  ,  , ,    称为一个位形；     1 2 N i EE  JJ  BB  .     i i j i ij i 系统的配分函数是：