代数方程的求解.docVIP

桂林电子科技大学 数学与计算科学学院实验报告 实验室： 实验日期： 年 月 日 院（系） 数学与计算科学 学号 姓名 成绩 课程 名称 数学应用软件实验 实验项目 名 称 代数方程的求解 指导教师 覃义 一、实验目的 1. 掌握求解线性方程组的命令和方法； 2. 掌握求解代数方程的命令和方法； 3. 通过实例学习用线性代数方程解决简化的实际问题。 二、实验原理 线性方程的求解可以分成两类：求方程组的唯一解或求特解和求线性方程组的通解。可以通过系数矩阵来判断解的情况： 若系数矩阵的秩r=n（n为方程组中示知变量的个数），则有唯一解 若系数矩阵的秩rn，则可能有无穷个解 线性方程组的无穷解 = 对应的齐次方程组的通解 + 非齐次方程组的一个特解； 1. 求线性方程组的唯一解或特解：直接法或迭代法。 （1）利用矩阵除法求线性方程组的特解。 方程：AX=b 求解：X=A\b （2）利用LU、QR和cholesky分解求方程组的解。 LU分解：LU分解又称Gauss消去分解，可以把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三解矩阵的乘积。即A = LU，L为下三角阵，U为上三角阵，则AX=b变成LUX=b，所以X=U\(L\b)，这样可以提高运算速度。相应的命令为：[L,U] = lu(A) Cholesky分解：若A是对称正定矩阵，则Cholesky分解可以将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即A=R’*R，其中R是上三角阵。此时方程A*X=b变成R’*R*X=b，所以X=R\(R’\b)，其相应的命令为：R=chol(A) QR分解：对于任何长方形矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即A=QR，方程AX=b变成QRX=b，所以X=R\(Q\b)，相应的命令为：[Q,R]=qr(A) 2. 求线性齐次方程组的通解 在MATLAB中，函数null用来求解零空间，即满足AX=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系） 格式：z=null % z的列向量为方程组的正交基，满足Z’*Z=I z=null（A,’r’） %z的列向量为方程AX=0的有理基 3. 求非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。其步骤为： 第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步； 第二步：求AX=b的一个特解； 第三步：求AX=0的通解； 第四步：AX=b的通解 = AX=0的通解 + AX=b的一个特解。 4. 符号代数方程求解 在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调格式为： solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量 solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)：求解符号表达式s1,s2,…,sn组成的代数方程组，求解变量为v1,v2,…,vn 三、实验内容 1. 已知线性方程组，试判断该线性方程组是否有解，若有解则分别用（1）直接求解，（2）LU分解；（3）QR分解；进行求解。 2. 求解齐次线性方程组的通解： 3. 求解线性方程组： 4. 求解代数方程：，其中是常数； 5. 求代数方程组：； 6. 求解代数方程组： 四、实验过程原始记录（数据，图表，计算等） 1. 已知线性方程组，试判断该线性方程组是否有解，若有解则分别用（1）直接求解，（2）LU分解；（3）QR分解；进行求解。 1. 先生成系数矩阵以及增广矩阵： A=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;0 0 0 1 5] A = 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 B=[A,[1;0;0;0;1]] B = 5 6 0 0 0 1 1 5 6 0 0 0 0 1 5 6 0 0 0 0