二次函数存在性问题(难).docVIP

2016年07月20日1866820220的初中数学组卷 　 一．选择题（共5小题） 1．（2016?娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标． 2．（2016?呼和浩特）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，﹣），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D． （1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标； （2）求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标； （3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值． 3．（2016?河南模拟）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？ 4．（2014?仙桃）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）当BQ=AP时，求t的值； （3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2014秋?曹县期末）如图，抛物线y=ax2+bx﹣，经过A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 　 二．解答题（共1小题） 6．（2016?枣庄）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B． （1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 　 2016年07月20日1866820220的初中数学组卷 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共5小题） 1．（2016?娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标． 【解答】解：（1）设y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0）， 把B（5，﹣6）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣6， a=1， ∴y=（x+1）（x﹣6）=x2﹣5x﹣6； （2）存在， 如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N， 设P（m，m2﹣5m﹣6），四边形PACB的面积为S， 则PM=﹣m2+5m+6，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5， ∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC =（﹣m2+5m+6）（m+1）+（6﹣m2+5m+6）（5﹣m）+×1×6 =﹣3m2+12m+36 =﹣3（m﹣2）2+48， 当m=2时，S有最大值为48，这时m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12， ∴P（2，﹣12）， （3）这样的Q点一共有5个，连接Q3A、Q3B， y=x2﹣5x﹣6=（x﹣）2﹣； 因为Q3在对称轴上，所以设Q3（，y）， ∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3