中职数学（人教版）：三角形中的变换教案.docVIP

第03讲 三角形中的变换 （一）知识归纳： 在三角形中有下述重要的公式与定理： 设△ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c， ①【内角和定理】A+B+C=π ②【正弦定理】（R为外接圆半径） ③【余弦定理】 ④【面积公式】（其中r为内切圆半径，） （二）学习要点： 1．边角互换：三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”进行互换，即运用“正弦定理、余理定理或面积公式”将边换成角，或将角换成边. 2．结合图形：有些问题还应考虑结合图形并运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”建立关系式. 【例1】在△ABC中，求证： [证法一]（考虑“角换边”） 左边= =右边； [证法二]（考虑“角换边”） 左边=右边. [评析]证法一将等式转化为三角式，并进行三角式变换；而证法二是将等式转化为代数式，并进行代数式变换；在解决问题题应估计这两种方法的难易程度，准确作出决策. 【例2】解答下列述问题： （Ⅰ）△ABC中，若，试确定△ABC的形状. [解析] ∴△ABC为直角三角形. （Ⅱ）在△ABC中，已知（a+b+c）(a+b－c)=3ab，，试判断三角形的形状. [解析]由（a+b+c）(a+b－c)=3ab ∴ ∵0°C180°，∴C=60°，A+C=120°， ∴cos(A+B)=－ ∴sinAsinB=①, ∴cosAcosB=②, ①+②得cos(A－B)=1，, ∴A－B=0, ∴A=C=B=60°，故△ABC为正三角形. [评分]判断三角形的形状是三角形变换中的典型问题，解决这类问题的主要过程是对条件进行化简，但应注意，化简的每步过程必须等价变换，否则可能会使得三角形形状的情况增加或减少. 【例3】解答下列问题： （Ⅰ）在△ABC中，已知最大内角A是最小内角C的两倍，三边的长a，b，c是三个连续的正整数，求各边的长. [解析] ∵最小边为c，∴b=c+1，a=c+2， ∵A=2C，B=180°－（A+C）=180°－3C， ∴①， 而②, 由①、②得c=4，b=5，a=6. （Ⅱ）在△ABC中，已知b=1，c=2，角A的平分线求a及三内角的大小. [解析]如图，S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴， ∴ ∴ ∴， ∴C=90°， 综上，A=60°，B=30°，C=90°. [评析]在例3中，问题都与图形有关，应根据图形的特点正确选择公式、定理建立起边、角关系. 【例4】解答题述问题： （Ⅰ）在△ABC中，已知 （1）求证：a，b，c成等差数列； （2）求角B的取值范围. [解析]（1） ∴a、b、c成等差数列； （2） ∵B∈（0，π），∴0＜B≤60°，∴角B的取值范围是 （Ⅱ）在Rt△ABC中，已知cosA+8cosB+cosC= 4， 试求外接圆半径R与内切圆半径r之比R:r. [解析]∵cosA+cosC=4不能成立，∴B≠90°，由对称性，设A=90°，∴8cosB+cosC=4 b= 4a－8c，代入c2+b2=a2得65c2－64ac+15a2=0 ∵b=4a－8a0，∴a2c，∴5c－3a=0不合，∴ 设c=5k，b=12k，a=13k， ∴R:r= [评析]例4是较综合一些的问题，也是带有考试特点的问题. 《训练题》 一、选择题 1．在△ABC中，已知则△ABC是 （ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．非直角三角形 D．最小内角大于45°的三角形 2．△ABC中，sin2A=sin2B是三角形为等腰三角形的 （ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．△ABC中，若则△ABC一定是 （ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 4．在△ABC中，若则△ABC哦 （ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 5．△ABC的内角满足：tanA－sinA0，sinA+cosA0 B． C． D． 6．在△ABC中，a:b:c=3:3:5，则 （ ） A． B． C． D．不是常数 二、填空题 7．在△ABC中，若则C等于 . 8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c=7，，则 a= ，b= . 9．若A为△ABC的内角，则sinA+cosA取值范围是 . 10．对△ABC，有下面结论：①满足sinA=sinB的△ABC一定是等腰三角形；②满足sinA=cosB的△ABC一定是直角三角形；③满足的△ABC一定是直角三角形.则上述