中职数学（人教版）：数列的最大与最小项问题教学教案.docVIP

第07讲 数列的最大与最小项问题 学习要点： 数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法： 1．直接求函数的最大值或最小值，根据的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据本身的性质求出的最值，也可以考虑求导解决，但必须注意，不能直接对求导（因为只有连续函数才可导），而应先对所在的函数求导，得到的最值，然后再分析的最值. 2．考察的单调性：，然后根据的单调判断的最值情况. 3．研究数列的正数与负数项的情况，这是求数列的前n项和的最大值或最小值的一种重要方法. [例1]首项为正数的等差数列，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？ [解法一]记的前n项和为， [解法二]由解法二知是首项为正数的单调递减数列，∴所有的正数项的和最大， 中前7项为正数项，从第9项开始各项为负数， 而最大. [评析]解法一抓住了是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项. 而解法二通过考察的单调性与正、负项的情况得到最大项. [例2]设等差数列的前n项和为，已知 （I）求公差d的取值范围； （II）指出中哪一个最大？说明理由； （III）指出中哪一个最小？说明理由. [解析]（I）①， ②， 由①、②得 （II）由①、②得为递减数列， （III） 这六项为负值，而其余各项均为正数， 的最小项只可能是这六项中的一项， 最小. [评析]通过讨论数列中的正、负项（并结合讨论单调性）是求数列前n项和的最大、最小值的重要方法. [例3]设Z，当n是什么数时， 取最小值，并说明理由. [解析]（1）当 （2）当时，考察的单调性， ①当单调递增， ② 单调递增； 而当 综上，当n=50或n=51时， [评析]命题中的数列是比较特殊的数列，虽然解题方案上还是通过考察数列的单调性，但具体过程更灵活. [例4]已知函数是奇函数，正数数列满足： （I）若的前n项和为； （II）若中的项的最大值和最小值. [解析]（I）由条件得 由条件得 （II） [评析]由于是关于的二次函数，所以选择配方法完成，但与普通二次函数不同的是函数的定义域不是连续的数集，而是由间断的实数构成，这也是数列中才会出现的特点. [例5]求数列的最大项与最小项. [解析]通过计算可知：当时单调递减，由此可得最大项与最小项，但是用一般方法： 却证明不了的单调性. 考察函数的单调性，∵lnlnx， 两边对x求导得： [解法二]用数学归纳法证明当 即时命题也成立， .下同解法一. [评析]这是比较困难的问题，因此采取了与前面一些例题不同的特殊方法来证明数列的单调性. 《训练题》 一、选择题： 1．数列中 （ ） A．最大，而无最小项 B．最小，而无最大项 C．有最大项，但不是 D．有最小项，但不是 2．已知的最大项是 （ ） A．第12项 B．第13项 C．第12项或第13项 D．不存在 3．数列的通项公式是中最大项的值是 （ ） A． B．108 C． D．109 4．已知数列的通项公式为 （ ） A．存在最大项与最小项，且这两项的和大于2 B．存在最大项与最小项，且这两项的和等于2 C．存在最大项与最小项，且这两项的和小于2 D．既不存在最大项，也不存在最小项 5．设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论错误的是 （ ） A． B． C． D．的最大值 6．设等差数列的前n项和为，并且存在一个大于2的自然数k，使 则 （ ） A．递增，有最小值 B．递增，有最大值 C．递减，有最小值 D．递减，有最大值 二、填空题： 7．设的最大值为 8．是等差数列，是其前n项和， 则在中最小的是 9．等比数列中，首项表示它的前n项的乘积，则 最大时，n= 10．设等差数列满足：最大时， n= 三、解答题： 11．已知数列的通项公式的前多少项之和最大？并求其最大值.（取） 12．设数列的前n项和为，已知中的最大值. 13．数列为正项等比数列，它的前n项和为80，前n项中数值最大的项为54，而前2n项的和为6560，试求此数列的首项和公比q. 14．已知数列中：， （I）求（II）若最小项的值； （III）设数列{}的前n项为，求数列{}的前n项和. 15．数列中， . （I）若的通项公式； （II）设的最小值. 《答案与解析》 一、1．C 2．C 3．B 4．A 5