中职数学（人教版）：三角的综合应用教案.docVIP

第04讲 三角的应用 学习要点： 三角的应用主要包括两个方面： 1．通过换元将一些代数问题转化为三角问题，但这方面的应用在现在的高考难度范围内基本上没有要求. 2．三角在几何图形中的应用：求解几何图形中的边、角、面积、体积以及解决关于几何的极值问题等等，经常要运用三角的知识与方法. 【例1】解答下述问题： （1）求函数的最大、最小值； （2）若； [解析]（1）令， 则， . （2）设， . [评析]上述三角的应用在现行的教材的难度上基本上没有要求，只是作为平时学习的参考. 【例2】已知内一点，它到两边的距离分别是2和11，求OP的长. [解析]连EF，由余弦定理得， ∵P、E、O、F四点共圆，且OP为该圆的直径， 由正弦定理得OP=14. （另解）设 可得. [解法三]如图，延长EP与OB交于G， [评析]在上述各种解法中，或多或少运用了三角知识. 【例3】如图，圆O的直径为3cm，圆A与圆B的直径分别为2cm与1cm，圆A与圆B外切，且它们均与圆O内切. 现放入一个圆C，使圆C与圆A、B均外切，而与圆O内切， 求圆C的直径. [解析]设圆C的半径为r， 即 圆C的直径为. [评析]这是一道与图形有关的应用问题，可以用解几或三角两种方法完成，但三角方法比解几方法容易很多. 【例4】某观察站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路，走向是南偏东 40°，由C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD距离为21千米，问人还需走多少千米才能到达A城？ [解析]设AD=x，AC=y， ① 而在△ABC中， 即 ② ②—①得，代入①得 得，即此人还需走15km才能到达A城. [评析]例4是与平面几何图形有关的测量问题，解决这类问题的关键是根据图形的特点运用正弦定理、余弦定理、面积公式或其它三角知识建立起关系式，然后求解. 【例5】海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A，上午11时测得一轮船在A的北偏东60°的B处，俯角是30°，11时10分，该船位于A的北偏西60°的C处，俯角为60°， （1）求该船的速度； （2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达A的正西方向，此时船离A的水平距离 是多少？ （3）若船的速度与方向不变，何时它到A站的距离最近？ [解析]（1）如图，， ∴船的速度 （2）设船到达的正西位置为D（x，0）， ∵B的坐标为 而C的坐标为 ∵B、C、D三点共线， ， 该船在上午11时15分到达正西方向； （3）作OE⊥BC于E，则E点到A的距离最近， 船在上午11时分时到A的距离最近. [评析]这是与立体几何图形有关的测量问题，应画出立体与平面两个图形，但问题的最终解决应在平面图形中解决. 《训练题》 一、选择题 1．若函数对任意科数x恒有，且θ为△ABC的一个内角， 则θ的范围是 （ ） A． B． C． D． 2．三角形两边长分别为1，，第三边的中线长也是1，则三角形内切圆半径为 （ ） A．－1 B． C． D．3－ 3．在△ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范 围是 （ ） A． B． C． D． 4．等腰△ABC一腰上的高BD=，高BD与底边BC的夹角为60°，则△ABC的面积是 （ ） A． B．2 C．2 D． 5．m、n、x、y∈R，且、b为常量），则mx+ny的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、 β（α＞β）则A点离地面的高AB等于 （ ） A． B． C． D． 二、填空题： 7．△ABC中，，两条中线AD、CE互相垂直，则tanB= . 8．已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 . 9．在△ABC中，AB=12，AC=6，，则∠A的平分线AD的长是 . 10．在△ABC中，∠BCA=120°，AC=5，D为AC延长线上一点，且CD=16，∠BDC= 30°，则AB= . 三、解答题 11．△ABC中，∠A=45°，AD⊥BC，且AD=3，CD=2，求三角形的面积S. 12．如图，△ABC是某屋顶的断面，CD⊥AB， 横梁AB的长是竖梁CD长的2倍，设计时 应使保持最小，试确定 D点位置，并求y的最小值. 13．一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时 的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角 45°+α的方向追去，若要在最