概率论与数理统计第二章(A).ppt

第二章 随机变量及其概率分布 二 随机变量的分布函数 第二节 离散型随机变量及其概率分布 第三节 连续型随机变量及其概率密度 三 正态分布 第四节 随机变量的函数分布 关于二项分布和泊松分布的关系,有如下泊松定理.(P40) 泊松定理 设λ0是常数,n为任意正整数,np=λ,则对任一固定的非负整数k,有 泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数?=np的泊松分布. 例4 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为?的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率. 解:由题意, 定义(P42) 在重复独立试验中,事件A发生的概率为p,设随机变量X 表示试验直到事件A首次发生为止所需试验次数,则有 则称随机变量X服从几何分布.易知 4. 几何分布 直观解说 (1)几何分布的概率构成等比(几何)数列,成几何 增长,公比为(1-p).顾名思义称之为几何分布. (2)几何分布直观叙述为期待某个事件首次出现. 5. 超几何分布P42 定义 一个袋中装有N件产品,其中有M件次品,从中无 放回抽取n件.以X表示取到的次品数. 那么X的分布根据古典概型计算得到 称随机变量X服从超几何分布,可记X~H(n,M,N) 直观解说 (1)从一批产品中一次抽取n件样品与不放回地抽取n 件是等价的,都服从超几何分布. (2)当有放回地抽取n件样品时,每次取到次品的概率都 是一样的,此时超几何分布退化为二项分布. 一 连续型随机变量及其概率密度 1.定义(p44) 若随机变量Ｘ的分布函数Ｆ(x),如果存在非负函数f(x),使得对任意的x,都有 则称Ｘ为连续型随机变量,其中函数f(x)叫作Ｘ的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.常记作 X~f(x). 密度函数的几何意义为: 曲边梯形的面积. x t -∞ f(t) 2. 密度函数的性质 (p44) (1) 非负性 f(x)?0，(-?x?)； (2)归一性 性质(1)、(2)是构成密度函数的充要条件。 (3) 对于任意实数 a,b (ab),有 性质3的几何意义为:如右图所示的曲边梯形的面积. 注意 若 x 是 f(x) 的连续点，则 对 f(x)的进一步理解: (4) 若f(x)在点 x 处连续 , 则有 分布函数 F(x) 与概率密度 f(x) 的关系为 (5) 连续型随机变量取某一可能值的概率等于0. 注意:概率等于 0 的事件不一定是不可能事件. 例1 设随机变量X的概率密度为 求常数 二 均匀分布和指数分布 1. 均匀分布(p46) 则称X在(a,b)内服从均匀分布.记作 X~U(a,b) 对任意实数c, d (acdb)，都有 直观解说 有一类特殊的随机变量,它有n个不同的可能取值,且取每一个值的概率相同 则说随机变量X在n个点上均匀分布;对于区间[a,b]来说,描述为取值落在该区间中的每点的概率密度相同.长度为 b-a质量为1的细棒的线密度为1/(b-a). 设连续型随机变量X的概率密度为 例4 长途汽车起点站于每小时的10分、25分、55分发车,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率. 解：设A—乘客候车时间超过10分钟 X—乘客于某时X分钟到达，则X?U(0,60) 0 15 10 25 45 55 60 分析 由汽车起点站的发车时间可见,乘客候车时间超过10分钟, 必须在(10,15] 、(25,45]和(55,60)时间段内到达. 思考题.求乘客候车时间不 超过5分钟的概率. 2. 指数分布(p48) 其中λ0是常数,则称X服从参数为λ指数分布,X的分布函数为 定义 若随机变量X具有概率密度 直观解说 (1) 指数分布通常用来描述对某一事件发生的等待时间,几 何分布描述伯努利试验中,直到事件A发生为止进行的试验 次数.如果将每次试验视为经历一个单位时间,则直到A发生为止进行的试验的次数可视为直到A发生为止的等待时间. (2)电子元件、灯泡的使用寿命;电话台收到两次呼叫的时间间隔;随机服务系统的服务时间等均服从指数分布. 例5 电子元件的寿命X(年）服从参数为1/3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率;(2)已知该电子元件 已使用了1.5年,求它还能使用2年的概率为多少? 解 由题设,得随机变量X 的密度函数为 一般地有以下的结论:P{Xs+t|Xs}=P{Xt} 其中μ,σ(σ0)为常数,则称X服从参数为μ,σ的