概率论与数理统计(课本)第2章.doc

第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面、反面的情况。这一试验 有两个结果：“出现”或“出现”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量，对于试验的两个结果，将的值分别规定为1或0。如果与样本空间联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量可以取不同的值。因此，是定义在样本空间上的函数，具体地说是 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称X(ω)为随 机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试 验结果的不同而取不同的值，是定义在样本空间上的函数 因此也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设为一个随机试验的样本空间，如果对于中的每一个元素，都有一个实数与之相对应，则称为随机变量。 一旦定义了随机变量后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合在上的取值，记为，它表示事件，即。 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设为“正面出现”的次数，则是一个随机变量。显然，的取值为0，1，2，3。的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1 X() X() X() X() HHH HHT 3 2 THT THH 2 2 HTT THT 1 1 TTH TTT 1 0 从上表中可以看出，事件｛X＝0｝＝｛TTT｝，｛X＝1｝＝｛HTT，THT，TTH｝，｛X＝2｝＝｛HHT，HTH，THH｝，｛X＝3｝＝｛HHH｝，由古典概型的概率计算公式得 。 例2-4 设一袋中共有4个白球5个黑球，随机地摸出4球，用表示摸出的 4球中“白球的数目”，则是一个随机变量。显然X的取值为0，1，2，3，4，而且表示摸出的4球中“最多有3个白球”的事件，表示摸出的4球中“白球数大于3”的事件，此时当然有。因此有 = 1＝125/126。 由此可见，在随机试验中引入随机变量，对随机事件的研究就可以转化为对随机变量的研究 。随机变量在试验前只能知道它的取值范围，但不能预言它取什么值，它随试验结果的不同 而取不同的值；随机变量取某些值或某一区间都表示随机事件，因而具有确定的概率。 二、分布函数 设是一个随机变量，对于任一实数，相应事件“”的概率是存在的。只要给出的值，就可以由此计算出X在任意区间的概率。这是 因为事件 而且 由概率的性质知 （2-1） 由此可见，概率成为计算任何我们感兴趣的概率的基础。为此我们引入随机变量的分布函数的概念。 定义2-2 设是一个随机变量，是任意实数，函数 （2-2） 称为随机变量的分布函数。 由上述定义及（2-1）式立即得到 特别需要强调的是，分布函数的概念看起来很抽象，实际上它却有明确的概率意义。分 布函数是一种概率：对于任一实数是一个随机事件，而分布函数正是这一事件的概率。换言之，表示落入区间这一事件的概率。 分布在函数具有以下性质： （1）单调性：当，则； （2）有界性： ； （3）; （4），即F(x)是右连续的。  图2-1 性质（1）与性质（2）显然成立，性质（4）的证明从略，性质（3）我们不作严格证明，只从几何上加以说明。在图2-1中，若将区间的端点沿数轴无限向左移动（即）时，则“随机变量落入在左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即；又若将区间的端点沿数轴无限向右移动（即），则“随机变量落入在左边”这一事件趋于必然事件，从而其概率趋于1，即。有了分布函数，关于随机变量的许多概率都能方便算出。比如 综上所述，分布函数是一种分析性质良好的函数，便于处理，而且给定了分布函数就能 算出各种事件的概率。因此引进分布函数使许多概率问题得于简化并且归结为函数的计算， 这样就能利用数学分析的许多结果，这是引进随机变量的好处之一。 第二节 离散型随机变量 随机变量按其取值情况分为两种类型：如果随机变量所有可能的取值为有限个或 可列多个，则称它为离散型随机变量；否则称它为非离散型随机变量。在非离散型随机变量中最常见是连续型随机变量。 一、分布律 研究随机变量的变化规律，不仅