极值最值凹凸等等(第1--次课).ppt

中值定理与导数的应用 二. 曲线的凹凸性 3. 曲线的拐点及其求法 主要内容 三.曲率及其计算公式 二.弧微分 三.曲率及其计算公式 例2. 求曲线 的渐近线 . 解: 所以有铅直渐近线 及 又因 为曲线的斜渐近线 . 一.函数的作图 二.弧微分 一. 函数图形的描绘 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为0和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周 例3. 描绘方程 的图形. 解: 1) 定义域为 2) 求关键点 3) 判别曲线形态 (极大) (极小) 4) 求渐近线 为铅直渐近线 无定义 又因 即 5) 求特殊点 为斜渐近线 6）绘图 (极大) (极小) 斜渐近线 铅直渐近线 特殊点 无定义 规定： ? ? 单调增函数, 显然, 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 则弧长微分公式为 或 几何意义: 若曲线由参数方程表示: 弧微分公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量. ) ) 弧段弯曲程度与 弧长及转角有关 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1.曲率的概念 ) 曲率的弯曲程度与哪些量有关呢?. 转角 弧段相同转角越 大弯曲程度越大 * * * 定理1 (极值第一充分条件) 且在空心邻域 内有导数, (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , （3） (是极值点情形) (不是极值点情形) 求极值的步骤: 例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 令 得 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 定理2(第二充分条件) 证： 例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一充分条件判别. 例3. 证: 定理3(判别法的推广) 则: 数,且 1) 当 为偶数时, 是极小点 ; 是极大点; 2) 当 为奇数时, 不是极值点 . 为极值点 , 且 例4. 下面归纳求函数零点的方法. 10. 20. 30. 解: 即 一. 最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 最小值 注: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 值 ,则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 . (小) 例5. 解: 计算 比较得 试求 解: 例6. 故所求最大值为 例7. 解: 清楚(视角? 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m , 例8. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则 令 得驻点 根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 唯一, 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 . 问观察者在距墙多远处看图才最 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 1.曲线凹凸的定义 定义1: 凹（或下凸） 凸（或上凸） 等价定义: 2.曲线凹凸的判定 弦AB的方程 定理1: 此定理证明从略. 定义2: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 注: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 例9 解 凹 凸 凹 拐点 拐点 例10. 解: 证明: 当 时， 有 证明: 令 , 则 是凹函 数 即 例11 . (自证) 无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 三. 曲线的渐近线 定义2 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线 或为“纵坐标差” 1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线 例9. 求曲线 的渐近线 . 解: 为水平渐近线; 为垂直渐近线. x=1 y=2 2. 斜渐近线 斜渐近线 若 注: 例1 解 * * * *