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条件改变之后的概率 对由于条件改变而引起的概率悖论的讨论 【摘要】: 悖论在数学中无处不在,但他们最经常是在一个比较高级的水平上出现.然而在概率方面.悖论却在一个比较简单的水平上出现.本文主要运用全概率公式和贝叶斯公式,解决一些由于条件改变而引起的概率悖论.并且通过分析两种常见的概率悖论,探讨概率悖论形成的原因,以及解决的方法,以期引起读者的重视和思索. 【关键词】: 数学;悖论;条件概率;特指 前言 悖论,从字面上讲就是荒谬的理论. 关于悖论的起源,可以追溯到古希腊和我国先秦哲学时代.但是在那时及其往后的一段相当长的时期中,悖论往往泛指那些推理过程看上去是合理,但是推理的结果却又违背客观实际.如著名的芝诺悖论中的阿基里斯追龟说:阿基里斯(一个善跑的猛将)要追上在前面跑的乌龟,必须先到达乌龟的出发点,而那时乌龟又已经跑过前面一段路了,如此这样往复,因此阿基里斯永远也追不上乌龟.[1] 在历史上,还有另一种与之相反的情形而称之为悖论,那就是由于新概念的引人而违背了具有历史局限性的传统观念,这就不是推理看上去好像是合理的问题,而是传统观念貌似事实的事了.例如伽利略悖论:自古人们就认为“整体大于部分”,现在有两个数列和,“整体大于部分”的观点,第二个数列中元素的个数会少于第一个数列.但是从对应的角度看,第一个数列中的任意项总可以和第二个数列中的对应,因此两个数列中的元素是一样多的.[2] 知识准备 2.1 样本空间 对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验的结果,但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间. 2.2 概率 在一次试验中,一个事件(除必然事件与不可能事件外)可能发生也可能不发生,其发生的可能性的大小是客观存在的.事件发生的频率以及它的稳定性,表明能用一个数来表征事件在一次试验中的可能性大小.我们从频率的稳定性及频率的性质得到启发和抽象,给出了概率的定义.我们定义了一个集合(事件)的函数,它满足三条基本性质: 非负性: 对于每一个事件A,有; 规范性: 对于必然事件S,有; 可列可加性: 设是两两互不相容的事件,即对于?,,有 这一函数的函数值就定义为事件A的概率.[3] 2.3 古典概型中的概率 概率的定义只给出概率必须满足的三条基本性质,并未对事件A的概率给定一个具体的数.只在古典概型的情况下,对于每个事件A给出了概率.一般,我们可以进行大量的重复试验,得到事件A的频率,而以频率作为的近似值.或者根据概率的性质分析,得到的取值. 2.4 条件概率 在古典概型中,我们证明了条件概率的公式 在一般的情况,上述公式作为条件概率的定义.固定A,条件概率具有概率定义中的三条基本性质,因而条件概率是一种概率.[4] 一些经典的概率悖论 3.1 三门问题 这是条件概率中的一个经典问题了.说在一次综艺节目上,设置了三个门,其中一个门后面是汽车,而另外两个门后面则是山羊.有一个嘉宾上去抽奖,当然想抽到汽车了.第一步,他先选中一个门,比如说1号门.选中了但不打开门.这时剩下的两个门里,至少有一个门背后是羊,对吧.第二步,主持人过来了,当然,他事先是知道汽车在哪个门后的.他在嘉宾剩下的那两个门中,把一个有羊的门打开了,比如说,打开了3号门,门后有羊.现在的问题就是嘉宾是坚持选他刚才选的1号门对他有利,还是改选剩下的2号门对他有利.[5] 第一种想法:每一个门后是汽车的概率都是,不管主持人怎么开门,每个门后的奖品都没被换过,那概率怎么会改变呢?1号门和2号门中奖的概率仍旧都是. 第二种想法:当主持人打开了一个门后,剩下了两个门,其中一个有羊,另一个有汽车,1号门和2号门背后有汽车的概率都是. 这两种想法当然都是错误的.下面我们用概率论的知识来计算一下. 我们以表示事件在号门后面有汽车,以表示事件主持人打开的是第号门.那么在第一步中,有样本空间,且有 在这一步中,我想大家都是没有异议的. 表格 1 三门问题中的所有事件及其概率 事件 门后的奖品 主持人打开的门 以及打开这个门的概率 1号门 2号门 3号门 汽车 羊 羊 2号门 汽车 羊 羊 3号门 羊 汽车 羊 3号门 1 羊 羊 汽车 2号门 1 而在第二步中,当主持人在剩下的两个门中把一个有羊的门打开之后,样本空间就发生了变化[6],我们把变化后的样本空间记为,即有.从而原来的问题可以等价为在发生的条件下, 和发生的概率大小,即,.下面先求. 由全概率公式可求得打开三号门的概率, 于是由条件概率的定义,有 代入数据,有 同理,有 也就是说,在主持人开门之前,2号门后有车的概率是,当主持人打开了一个有羊的门以后,2号门后的奖品没被换过,有车的概率却变成了.而刚开始嘉